I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік
Теорема 1. Кез келген нөлден өзгеше матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып сатылы түрге келтіруге болады. Дәлелдеу
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
1. АлгебраСандарТеориясы 1
| Теорема 1. Кез келген нөлден өзгеше матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып сатылы түрге келтіруге болады.
Дәлелдеу. Нөлден өзгеше A = mn-матрицасы берілсін. m саны бойынша индукцияны қолданамыз. m = 1 болғанда матрицаның бір жолы бар, сондықтан ол сатылы болады. Енді m > 1 болсын және теорема m – 1 санына орындалсын. 1. Керек болса, жолдарды орындарымен ауыстырып, матрицаның нөлдік жолдарын нөлден өзгеше жолдардан төмен қоюға болады: , мұнда сызықтың үстінде нөлден өзгеше жолдар, ал сызықтан төмен нөлдік жолдар. 2. Сонымен матрицаның нөлдік жолдары нөлден өзгеше жолдарынан төмен болсын. Бірінші жолдың жетекші элементі болсын. Егер оның алдында басқа жолдың жетекші элементі табылса, онда осы екі элементтердің жолдарын ауыстырамыз (3-түрлендіру): , мүнда вертикаль сызықтың алдында нөлдік элементтер. Сондықтан бірінші жолдың 1j 0 жетекші элементінің алдында басқа жолдың жетекші элементі болмайтын матрицаға келеміз: , мүнда вертикаль сызықтың алдында нөлдік элементтер. 3. 1j элементінің астында нөлден өзгеше элемент табылса, айталық i-жолдағы ij 0 элементі, бірінші жолды скалярына көбейтіп, i-жолға қосамыз. Нәтижесінде (i, j)-орындағы элемент нөлге айналады (‘жойылады’): , мұнда сызықтың алдындағы элементтер нөлдік. Сондықтан i-жолдағы бірінші жолдың жетекші элементінің астында 0 тұрады. Керек болса, ij астындағы басқа жолдағы элементтерді де ‘жоюға’ болады. Мұны 2-түрленду қолданып жасауға болады. 4. Сөйтіп, бірінші жолдың жетекші элементінің алдында төменгі жолдарда нөлдік элементтер және оның астында да нөлдік элемент тұр: A1 = , мұнда вертикаль сызықтың алдында және 1j элементінің астында нөлдік элементтер. Осы матрицаның 2-ден бастап m-жолына дейін жолдарына құралған матрица B болсын. Оның өлшемдігі (m – 1) n. Индукцияның жорымы бойынша, B матрицасын элементар түрлендірулерді қолданып сатылы C түріне келтіруге болады. B-ны C-ға келтіретін элементар түрлендірулерді A1 матрицасының жолдарын қолданса, сатылы матрицаға келеміз. Сөйтіп, теорема m санына орындалады. Математикалық индукция принципі бойынша, теорема кез келген натурал m санына орындалады. Мысалы, A = матрицасын сатылы түрге келтірейік. A . Берілген матрицаның бірінші жолының жетекші элементі –1 болады. Бірақ оның алдында басқа жолдардың жетекші элементтері тұр. Сондықтан 1-жолды басқа бір жолмен орнымен ауыстыру керек, айталық 3-жолмен (1-адым). Екінші матрицада бірінші жолдың жетекші элементі 4. Онымен астындағы элементтерді “жою” керек. Атап айтқанда, астында 2-жолдағы (–1)-ді “жою” үшін бірінші, жолды -ге көбейтіп, екінші жолға қосу керек. Бірақ, (–1) “жойылса” да, екінші жолда бөлшектер пайда болады. Сондықтан екінші матрицада бірінші және екінші жолдарды орынымен ауыстырамыз (2- адым). Енді үшінші матрицада бірінші жол 4-ке көбейтіліп, екінші жолға қосылады (нәтиже қосылған орынға жазылады, 2-жолға, ал 1-жол өзгермейді) (3- адым). Одан кейін 4-жолдағы 4-ті “жоямыз”, ол үшін, 1-жол 4-ке көбейтіліп, 4-жолға қосылады. Сөйтіп, бірінші жолдың жетекші элементінің алдында нөлден өзгеше элемент жоқ "4-адым). Енді сатылы түрге матрицаның бірінші жолдан төменгі бөлігін келтіру керек. Ол үшін екінші мен үшінші жолды ауыстырамыз (5- адым). Одан кейін 2-жолдағы 1-дің астындағы элементтер жойылды: 2-жол (–13)-ке көбейтіліп, 3-жолға қосылды (6- адым). 7-адымда 1-жол (–1)-ге көбейтіліп, 4-жолға қосылды. Енді 3-жолдың жетекші элементінің, 50-дің, астындағы 4-жолдағы 25-ті “жою” керек. Ол үшін 3-жолды, -ге көбейтіп, 4-жолға қосамыз (8-адым). Соңғы матрица сатылы болады. жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|