I-тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері § Арифметикалық векторлық кеңістік
жүктеу/скачать 1,11 Mb.
|
1. АлгебраСандарТеориясы 1
Дәлелдеу. 1. с = (1, 2,…, n) векторы (1)-жүйенің шешімі болса, онда жүйенің i-теңдеуіне i11 + i12 +…+ inn = 0. Ал a = (1, 2,…, n) және i1(1) + i1(2) +…+ in(n) = (i11 + i12 +…+ inn) = 0 = 0, мұндағы i = 1,…, m. Сондықтан a векторы да жүйенің шешімі болады.
2. Енді с = (1, 2,…, n) және d = (1, 2,…, n) векторлары (1)-жүйенің шешімі болсын. Онда жүйенің i-теңдеуіне i11 + i12 +…+ inn = 0 және i11 + i12 +…+ inn = 0 теңдіктері орындалады. Осы теңдіктерді қосса, (i12 +…+ inn) + (i11 + i12 +…+ inn) = i1(1 + 1) + i1(2 + 2) +…+ in(n + n) = 0 + 0 = 0. Сондықтан c + d векторы жүйенің шешімі болады. 3. Егер a1, a2, …, am векторлары (1)-жүйенің шешімі болса, онда, 1-қасиет бойынша, кез келген 1, 2,…, m скалярлары үшін 1a1, 2a2, …, mam векторлары (1)-жүйенің шешімі болады. Енді, 2-қасиет бойынша, олардың 1a1 + 2a2 + …+ mam қосындысы да (1)-жүйенің шешімі болады. Сөйтіп, (1)-жүйенің a1, a2, …, am шешімдерінің кез келген 1a1 + 2a2 + …+ mam сызықтық комбинациясы жүйенің шешімі болады. Біртекті (1)-жүйенің шешімдер жиыны n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістіктің ішжиыны болады. Оны L деп белгілейік. Біртекті сызықтық теңдеулердің шешімдерінің L жиынының кез келген базисі шешімдердің фундаментальды жүйесі деп аталады. Сөйтіп, a1, a2, …, as векторлары шешімдердің фундаментальды жүйесі болса, онда а) a1, a2, …, as шешімдері сызықты тәуелсіз болады; ә) жүйенің кез келген шешімі a1, a2, …, as шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады. Егер біртекті жүйенің a1, a2, …, as фундаментальды жүйесі табылса, онда жүйенің кез келген шешімі a1, a2, …, as шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады: 1a1 + 2a2 + …+ sas, мұндағы 1, 2, …, s кез келген скалярлар. Бұл жүйенің барлық шешімдерін қамтиды, сондықтан ол жүйенің жалпы шешімі деп аталады. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі Гаусс әдісімен шешіледі. 1. Әуелі жүйенің негізгі матрицасы сатылы түрге келтіріледі. Айталық, матрицаның рангі r болсын. 2. Одан кейін негізгі және еркін белгісіздер анықталады, мысалы: . 3. Сатылы матрицаға сәйкес жүйеде еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады және еркін белгісіздер параметрлер ретінде алынып, негізгі x1, x2,…, xr белгісіздерінің мәндері табылады. x1 = 1 + 1,r+1xr+1 +… + 1,nxn x2 = 2 + 2,r+1xr+1 +… + 2,nxn . . . . . . . . . . . . . xr = r + r,r+1xr+1 +… + r,nxn. Егер еркін белгісіздерге xr+1 = 1,r+1, xr+2 = 1,r+2,…, xт = 1,т мәндері берілсе, онда (1)-жүйенің a1 = (1,1, 1,2, …, 1,r, 1,r+1, …, 1,т) шешімі табылады. Енді еркін белгісіздерге басқа мән берсе, онда жүйенің басқа шешімі табылады: a2 = (2,1, 2,2, …, 2,r, 2,r+1, …, 2,т). Осылай жалғастыра берсе, жүйенің әртүрлі шешімдерінің тізбегін табуға болады:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak = (k,1, k,2, …, k,r, k,r+1, …, k,т). Кез келген k үшін табылған шешімдер жүйесінің рангін жоғарыдан бағалайық. Осы векторлардың координаталарынан құралған матрицаның түрі A = болады. Мұнда тәуелсіз өзгеретін s = n – r мән: i,r+1, …, i,т. Сондықтан матрицаның рангі s санынан аспайды. Оған қоса, еркін белгісіздердің мәндерін, мысалы, мына s тәсілмен a1 = (1,1, 1,2, …, 1,r, 1, 0, …, 0) a2 = (2,1, 2,2, …, 2,r, 0, 1, …, 0) (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak = (k,1, k,2, …, k,r, 0, 0, …, 1) деп алса, онда матрицаның рангі дәл s болады. Сөйтіп, біртекті жүйенің шешімдер жиынының рангі s = n – r болады. Теорема 2. Егер біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының рангі r болса, онда шешімдердің фундаментальды жүйесіндегі векторлар саны s = n – r болады. Мысалдар. 1. Біртекті жүйені шешейік: x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 – 4x4 = 0 4x1 + 5x2 – 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + 8x2 + 32x3 – 26x4 = 0. Жүйенің матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Матрицаны рангі 2-ге тең, 2-теорема бойынша, шешімдердің фундаментальды жүйесінде s = 4 – 2 = 2 шешім болу керек. Сөйтіп, келесі жүйе шығады: x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0 –x2 – 6x3 + 5x4 = 0. Негізгі белгісіздер x1, x2, еркін белгісіз x3, x4 деп алынады. Еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады:
–x2 = –6x3 – 5x4 = 0. Осы жүйенің шешімі табылады:
Енді (2)-жүйедегідей бір еркін белгісізге 1 мәнін, қалғандарына 0 мәнін беріп, фундаментальды жүйенің екі шешімін табамыз. Әуелі x3 = 1, x4 = 0 болсын. Онда (3)-жүйе
жүйесіне айналады. Сондықтан фундаментальды жүйенің бір шешімі a1 = (8, –6, 1, 0) болады. Енді x3 = 0, x4 = 1 болсын. Онда (3)-жүйе
Сөйтіп, берілген біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін a1 = (8, –6, 1, 0), a2 = (–7, 5, 0, 1) векторлары құрайды. Ал жүйенің жалпы шешімі осы шешімдердің сызықтық комбинациясы болады: 1a1 + 2a2 = 1(8, –6, 1, 0) + 2(–7, 5, 0, 1) = 1a1 + 2a2 = (81, –61, 1, 0) + (–72, 52, 0, 2) = (81 – 72, –61 + 52, 1 + 0, 0 + 2) = (81 – 72, –61 + 52, 1, 2), мұндағы 1, 2 кез келген скалярлар. 2. A = матрицасының жолдары біртекті x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 2x2 + x3 + x4 – 3x5 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 0 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 – x5 = 0 сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрайтынын, не құрамайтынын анықтайық.
1) оның жолдары жүйенің шешімі болу керек; 2) оның жолдары сызықты тәуелсіз болу керек; 3) матрицаның рангі s = n – r санына тең болу керек, мұндағы n = 5 белгісіздердің саны, r жүйенің негізгі матрицасының рангі. Әуелі A матрицасының жолдары жүйенің шешімі болатыны тексеріледі. Бірінші жолды тексерейік: (1, –2, 1, 0, 0). 1 + (–2) + 1 + 0 + 0 = 0 31 + 2(–2) + 1 + 0 – 0 = 0 (–2) + 21 + 0 + 0 = 0 51 + 4(–2) + 31 + 30 – 0 = 0. Сондықтан матрицаның бірінші жолы жүйенің шешімі болады. Осыған ұқсас матрицаның қалған жолдары да шешім болатыны тексеріледі. Енді A матрицасының жолдары сызықты тәуелсіз болатынын тексерейік. Ол үшін матрицаның рангін табамыз: A = . Сөйтіп, A матрицасының рангі 2-ге тең. Сондықтан оның жолдары сызықты тәуелсіз болмайды. Сонымен A матрицасының жолдары біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрамайды. Тапсырма 7. Біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін және шешімдердің фундаменталды жүйесін табыңдар: 1) x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 – 4x4 = 0 4x1 + 5x2 – 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 – 19x4 = 0 2) 2x1 – 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0 3x1 – 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 4x1 – 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0 3) 3x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0 6x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 0 9x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0 3x1 + 2x2 + 4x3 + 8x5 = 0 4) 3x1 + 5x2 + 2x3 = 0 4x1 + 7x2 + 5x3 = 0 x1 + x2 – 4x3 = 0 2x1 + 9x2 + 6x3 = 0 5) 6x1 – 2x2 + 2x3 + 5x4 + 7x5 = 0 9x1 – 3x2 + 4x3 + 8x4 + 9x5 = 0 6x1 – 2x2 + 6x3 + 7x4 + x5 = 0 3x1 – x2 + 4x3 + 4x4 – x5 = 0 6)
x2 – x4 = 0 –x1 + x3 – x5 = 0 –x2 + x4 – x6 = 0 –x3 + x5 = 0 –x4 + x6 = 0 7)
x2 – x4 + x6 = 0 x1 – x2 + x5 – x6 = 0 x2 – x4 + x5 = 0 8) 5x1 + 6x2 – 2x3 + 7x4 + 4x5 = 0 2x1 + 3x2 – x3 + 4x4 + 2x5 = 0 7x1 + 9x2 – 3x3 + 5x4 + 6x5 = 0 5x1 + 9x2 – 3x3 + x4 + 6x5 = 0 9) 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0 5x1 + 7x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = 0 4x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = 0 7x1 + 10x2 + x3 + 6x4 + 5x5 = 0 10)
3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 7x5 = 0 3x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 5x5 = 0 3x1 + 2x2 – x3 + 2x4 – 11x5 = 0 6x1 + 4x2 + x3 + 4x4 – 13x5 = 0 11) 6x1 – 2x2 + 3x3 + 4x4 + 9x5 = 0 3x1 – x2 + 2x3 + 6x4 + 3x5 = 0 6x1– 2x2 + 5x3 + 20x4 + 3x5 = 0 9x1– 3x2 + 4x3 + 2x4 + 15x5 = 0 12)
2x1 + 7x2 + 4x3 + 5x4 + 8x5 = 0 4x1 + 4x2 + 8x3 + 5x4 + 4x5 = 0 x1 – 9x2 – 3x3 – 5x4 + 4x5 = 0 3x1 + 5x2 + 7x3 + 5x4 + 6x5 = 0 13) 2x1 + 7x2 + 4x3 – 5x4 + 8x5 = 0 4x1 + 4x2 + 8x3 + 5x4 + 4x5 = 0 x1 – 9x2 + 3x3 – 5x4 + 4x5 = 0 3x1 + 5x2 + 7x3 + 5x4 + 6x5 = 0 14) 3x1 + 4x2 + 3x3 + 9x4 + 6x5 = 0 9x1 + 8x2 + 5x3 + 6x4 + 9x5 = 0 3x1+ 8x2+ 7x3+ 30x4 + 15x5 = 0 6x1 + 6x2 + 4x3 + 7x4 + 5x5 = 0 15)
3x1 + x2 + x3 – 2x4 – 9x5 = 0 9x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + x5 = 0 4x1+ x2+ 2x3 – 3x5 = 0 16)
x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 0 6x1 + x2 – 2x3 – 3x4 = 0 5x1 – 6x2 – 4x3 – 7x4 = 0 7x1 + 8x2 + x4 = 0 17) 2x1 – 12x2 – 5x3 – 8x4 – x5 = 0 9x2 + 3x3 + 2x4 + 3x5 = 0 10x1+ 6x2– 3x3+ 7x4 + 17x5 = 0 6x1+ 3x2 – 2x3 + 4x4 + 10x5 = 0 18)
3x1 + 2x2 + x3 – 6x4 + 2x5 = 0 7x1+ 3x2 + 2x3 – 18x4 + 6x5 = 0 11x1+ 5x2+ 3x3– 27x4 + 9x5 = 0 7x1 – 7x2+ 2x3– 48x4+ 16x5 = 0 5x1 + 4x2 + x3 – 6x4 + 2x5 = 0 19)
2x1 + 5x2 + 6x3 + 8x4 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 = 0 x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 0 x1 + x2 + 5x3 + 3x4 = 0 5x1 + 4x2 + 4x3 + 7x4 = 0 20) 5x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0 7x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 + 6x5 = 0 9x1 + 7x2 + 5x3 + 6x4 + 9x5 = 0 8x1 + 4x2 + 2x4 + 3x5 = 0 21)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x1 – x2 + 2x3 – 2x4 + 3x5 = 0 x1 + x2 + 4x3 + 4x4 + 9x5 = 0 x1 – x2 + 8x3 – 8x4 + 27x5 = 0 x1+ x2 + 16x3 + 16x4 + 81x5 = 0 22)
x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 + x5 = 0 x1 + x2 + 4x3 + 6x4 + 4x5 = 0 4x1 + x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 0 6x1 + 4x2 + x3 + x4 + 4x5 = 0 4x1 + 6x2 + 4x3 + x4 + x5 = 0 23)
4x1 – 2x2 + 6x3 + 3x4 – 4x5 = 0 2x1 + 4x2 – 2x3 + 4x4 – 7x5 = 0 24)
x1 – 2x2 + x3 – x4 + x5 = 0 2x1 + x2 – x3 + 2x4 – 3x5 = 0 3x1 – 2x2 – x3 + x4 – 2x5 = 0 2x1 – 5x2 + x3 – 2x4 + 2x5 = 0 25)
2x1 + x2 – x3 – x4 – 3x5 = 0 x1 + 7x2 – 5x3 – 5x4 + 5x5 = 0 3x1 – x2 – 2x3 + x4 – x5 = 0 26)
2x1 + x2 – x3 – x4 + 3x5 = 0 2x1 + 7x2 – 5x3 – 5x4 + 5x5 = 0 3x1 + x2 – 2x3 + x4 – x5 = 0 27) 28)
29)
30)
Тапсырма 9. параметріне тәуелді біртекті сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеп, шешіңдер: 1) x1 + x2 + 3x3 + 4x4 + x5 = 0 x1 + x2 – x3 + x4 + 5x5 = 0 x1+ x2+ 4x3 + 3x4 – 4x5 = 0 x1 + x2 + 7x3 + 7x4 – 3x5 = 0 2) 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 + 2( – 1)x3 + x4 = 0 (2 + 1)x1+ ( + 2)x2+ x3 + x4 = 0 (3 – 2)x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 3) 5x1 – 3x2 + x3 + 4x4 = 0 4x1 – 2x2 + 3x3 + 7x4 = 0 8x1 – 6x2 – x3 – 5x4 = 0 7x1 – 3x2 + 7x3 + 17x4 = 0 4) 3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 0 2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 = 0 x1 – 6x2 – 9x3 – 20x4 = 0 4x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0 5) 2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 0 4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 0 4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 0 2x1 – 3x2 + 3x3 + x4 = 0 6) 2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 = 0 4x1 – 2x2 + 5x3 + 6x4 = 0 6x1 – 3x2 + 7x3 + 8x4 = 0 x1 – 4x2 + 9x3 + 10x4 = 0 7) 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0 4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 0 6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 0 8x1 + 12x2 + 7x3 + x4 = 0 8) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 9) (1 + )x1 + x2 + x3 = 0 x1 + (1 + )x2 + x3 = 0 x1 + x2 + (1 + )x3 = 0 10)
( + 1)x1 + x2 + x3 = 0 x1 + ( + 1)x2 + x3 = 0 x1 + x2 + ( + 1)x3 = 0 11)
x1 + 2x2 + 3x3 = 0 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 5x1 + 6x2 + 7x3 = 0 12)
2x1 – x2 + x3 = 0 x1 – 2x2 – 2x3 = 0 x1 + x2 + 3x3 = 0 13)
(–1 + 2)x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 14)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 15)
4x1 – x2 + 3x3 = 0 4x1 – x2 + x3 = 0 3x1 + x2 + 4x3 = 0 16)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 17) 2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 0 2x1 + 9x2 + 4x4 = 0 2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 0 2x1 – 2x2 + 3x3 + x4 = 0 18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
26)
27)
28) 29) 30)
жүктеу/скачать 1,11 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|