Cүйір бұрышқа қарсы жатқан қабырғаның квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысының табаны мен бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін азайтқанға тең. С
b a
h
А cbca В
D
- доғал бұрыш b2 = a2 + c2 +2a1c Доғал бұрышқа қарсы жатқан квадраты, былайғы екі қабырғасы квадраттарының қосындысына табаны мен екінші бүйір қабырғасының табанындағы проекциясының екі еселенген көбейтіндісін қосқанға тең
C
b a
h
D
А c B a1
Ауданды анықтайтын формулалар , , .
,
Sa - ауданы
Сыртай сызылған шеңбердің центрі қабырғаларынығ орта перпендикулярларының қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы
формуласымен анықталады
S – ауданы
p – жарты периметр
Іштей сызылған шеңбердің центрі биссектрисалардың қиылысу нүктесінде жатады да, радиусы формуласымен анықталады
Бисектрисаны есептеу формулалары
С
b lca А В
b1D a1
Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы табанын іргелес қабырғаларына пропорционал бөліктерге бөлінеді: lc –биссектриса a) б)
C a
o N A B
M
AN, CM – медианалар. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады жіне төбесінен бастап есептегенде сол нүктеде 2 : 3 қатынасында бөлінеді.
Медиана формуласымен есептеледі
ha, hb, hc – cәйкес қабырғаларына түсірілген биіктік
формулаларын пайдаланып тапсақ:
:
r – іштей сызылған шеңбер радиусы
III. ТӨРТБҰРЫШТАР
B A O C
D
Ромб
Ромбының диогналдары өзара перпендикуляр және бұрыштарын қақ бөледі
Ромбының ауданын есептейтін формулалар
A B
o
b h
D C
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
AC2 + BD2 = 2a2 + 2b2
Диогналдарының киадраттарының қосындысы, оның барлық қабырғаларының киадраттарының қосындысына тең Ауданы S = ah формуласымен анықталады
B b C
M h K
A D
a
Трапеция
; Трапециярың орта сызығы табандарының қосындысының жартысына тең
Ауданы формуласымен анықталады
b
B C
c d
• O
A B
a
Трапеция
a +b = c+d. Егер трапецияға іштей шеңбер сызылған болса, онда табандарының қосындысы бүйір қабырғаларының қосындысына тең болады
M
B C o A D
N
Трапеция
Диогналдары өзара перпендикуляр болатын тең бүйірлі трапециярың ауданы – биіктігінің квадратына тең
S = h2
B b C c •o c A D
Трапеция
Теңбүйірлі трапецияға іштей шеңбер сызылатын болса, онда биіктігі табандарының геометриялық орташасы болады:
IV ШЕҢБЕР ЖӘНЕ ДӨҢГЕЛЕК
B
1 A
2
C
AB=AC Егер щеңберден тысқары жатқан нүктеден оған екі жанама жүргізсе, онда:
a) берілген нүктеден жанасу нүктесіне дейінгі кесінділердің ұзындықтары тең;
б) центрден өтетін қиюшымен жанамалар арасындағы бұрыштар өзара тең.
B n1 A
n
D
m1 = AD· n Егер шеңберден тысқары жатқан бір нүктеден оған жанама және қиюшы жүргізілсе, онда жанаманың квадраты қиюшы мен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең
b c d b a
ab = cd Егер екі хорда қиылысса, онда бір хордадағы кесінділер мен екінші хордадағы кесінділердің көбейтінділері тең болады
Шеңбердің ұзындығы
Дөңгелектің ауданы
В А
Доғаның ұзындығы
о
r • r
Сектордың ауданы
•о
a
a =͜ AB
A B
C D
A • B
A E B M
C
B D
A
•O
E
C
1 – ден 10 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттары және кубтары
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
N3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
2 және 3 сандарының дәрежелері
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
10 – нан 99 – ға дейінгі натурал сандардың квадраттарының кестесі
Ондық-
тар
бірліктер
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
ҚЫСҚАША КӨБЕЙТУ ФОРМУЛАЛАРЫ
НАТУРАЛ ЖӘНЕ БҮТІН КӨРСЕТКІШТІ ДӘРЕЖЕНІҢ ҚАСИЕТТЕРІ
Бөлшек өрнектерге амалдар қолдану
Тригонометриялық функциялардың мәндерінің кестесі
бұрыш
Радианмен ( градуспен ) берілген бұрыштың мәнә
функция
0 ( 0˚)
(30˚)
(45˚)
(60˚)
( 90˚)
(120˚)
(135˚)
(150˚)
(180˚)
(270˚)
(360˚)
Sin a
0
1
0
-1
0
Cos a
1
0
-
-
-1
0
1
Tg a
0
1
-
-
-1
0
-
0
Ctg a
-
1
0
-
-1
-
-
0
-
Келтіру формулалары
x
Sinx
cos a
cos a
-sin a
sin a
-cos a
-cos a
sin a
-sin a
Cosx
-sin a
sin a
-cos a
-cos a
sin a
-sin a
cos a
cos a
tgx
-ctg a
ctg a
tg a
-tg a
-ctg a
ctg a
tg a
-tg a
ctgx
-tg a
tg a
ctg a
-ctg a
-tg a
tg a
ctg a
-ctg a
Негізгі тригонометриялық тепе – теңдіктер Sin2 a +Cos2 a = 1
Тригонометрия формулалары
Арифметикалық прогрессия
Геометриялық прогрессия
A
b c
C B
a
Арифметикалық квадрат түбір: мұндағыа = в2 , а ≥ 0, в ≥ 0 Арифметикалық квадрат түбірдің қасиеттері: