Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы

Айталық, В оқиғасы толық жүйе болатын A ,A ,...A_{1 2 n} оқиғалардың бiреуi орындалғанда ғана пайда болатын болсын. Осы оқиғалардың ықтималдықтары

P(A ),P(A ),...P(A )1 2 n

жəне В оқиғаның шартты ықтималдықтары

P_A1 (B),P_A2 (B),...,P_An (B)

берiлген болсын.

Бұл жерде A ,A ,...A_{1 2 n} оқиғаларын гипотеза деп атайды. Осы берiлгеннен

P(B) = ∑P(A ) P_i ⋅ _A1 (B) (3.1)

орындалатынын дəлелдейiк. Шынында да, В оқиғасы тек қана A ,A ,...A_{1 2 n} оқиғалардың бiреуiмен бiрге пайда болуы мүмкiн, сондықтан

B = A B1 + A B2 +...+ A Bn .

A ,A ,...A_{1 2 n} оқиғалары үйлесiмсiз болғандықтан A B,A B,...,A B_{1 2 n} оқиғалары да үйлесiмсiз болады, сонда

P(B) = P(A B)₁ + P(A B)₂ +...+ P(A B)_n

Ендi 2.3 тегi 1-теоремасы бойынша

P(B) = P(A )P₁ A1(B)+P(A )P₂ A2 (B)+...+P(A )P_{n A}n (B)

Теорема дəлелдендi. (3.1) формуланы толық ықтималдық формуласы деп атайды.

Сонымен (3.1) теңдiгi орындалатын болсын. Ендi В оқиғасы пайда болды деп, A (i_i =1,2,...,n) оқиғалардың ықтималдықтарын табайық:

P(A B)_i = P(B)P (A )_{B i} = P(A )P_{i A}i (B) .

Осыдан

P (A )_{B i} = .

P(B)

(3.1) формуланы пайдаланып:

P (A )_{B i} = n (3.2)