Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы

Ықтималдықтар теориясында, ең бастапқы ұғымдар - оқиға мен ықтималдық.

Оқиғалар үш түрге бөлiнедi: ақиқат, мүмкiн емес жəне кездейсоқ болады.

Егер оқиға сөзсiз пайда болатын болса, онда ақиқат деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкiн емес деп атайды.

Егер оқиғаның пайда болатындығын, не пайда болмайтындығын алдын ала айтуға болмайтын болса, онда оны кездейсоқ деп атайды.

Кездейсоқ оқиғалар латынның А, В, С… бас əрiптерiмен белгiленедi.

Бiртектi кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейтiн математиканың бөлiгiн, ықтималдықтар теориясы деп атайды. Ықтималдықтарды анықтау үшiн қосымша анықтамалар келтiрейiк. Айталық, А₁,А₂,...А_n саны шектелген оқиғалар болсын.

Егер бұл оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы, екiншiсiнiң пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиғаларды үйлесiмдi деп айтады. Егер бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiн жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесiмсiз деп айтады.

Егер бұл оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкiндi деп атайды.

Егер осы оқиғалардың ең болмағанда бiреуi пайда болатын болса, онда оларды бiрден-бiр мүмкiн деп атайды.

Егер А₁, А₂, …А_n үйлесiмiз жəне бiрден-бiр мүмкiн оқиғалар болса, онда бұларды оқиғалардың толық жүйесi деп атайды.

Бiр-бiрiне үйлесiмсiз, бiрден-бiр мүмкiн екi оқиғаны бiр-бiрiне керi деп атайды.

Егер А деп оқиғаны белгiлесе, онда А деп оған керi оқиғаны белгiлейдi.

Ендi оқиғаларға алгебралық амалдар қалай қолданатынын қарастырайық.

Анықтама. Егер А-ның пайда болуы немесе В-ның пайда болуы, немесе екеуiнiң пайда болу оқиғасын С деп белгiлесек, онда С оқиғасын А мен В-ның қосындысы деп атайды жəне былай белгiлейдi:

С = A + B немесе C A B= ∪

Осыдан, А А А₁, ₂,... _n оқиғалардың қосындысы

n n

i 1=

Егер А А А₁, ₂,... _n толық жүйе құрайтын болса, онда A_i = Ω , Ω- бос

жиын.

Анықтама. Егер С- оқиғасы А жəне В оқиғалардың бiрдей пайда болуынан қалыптасатын болса, онда С оқиғасын А жəне В-ның көбейтiндiсi (қиылысуы) деп атайды жəне былай белгiлейдi:

С=A⋅B немесе С = A ∩ В

Ал А₁,А₂,...А_n оқиғаларының көбейтiндiсi:

n n

i 1=

С=A-B немесе С=A\B.

Жоғарыда берiлген анықтамалардан мынадай теңдiктер орындалады:

А + A = A А ⋅A A= А + B = B + A А ⋅B = B A⋅ A + (B + C) = (A + B) + C A + (B C⋅ ) = (A B) C⋅ ⋅

A(B + C) = AB+ AC (A + B) (A⋅ + C) = A + BC A + Ω = Ω A + Ω = A A⋅Ω = A A ⋅Ω = Ω

A + A = Ω A A⋅ = Ω A x B = A B⋅ A = A A + B = A B⋅ AB = A + B

Егер А оқиғасы осының m жағдайында пайда болып, қалған n − m жағдайда пайда болмайтын болса, онда А оқиғасына m жағдайы қолайлы деп айтады.

m

P(A) = .

Бұл анықтаманы бiрiншi француз математигi Лаплас берген жəне оны ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.

Осы анықтамадан шығатын кейбiр қасиеттердi атап өтелiк.

1. 
   Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бiрге тең болдады.
   
2. 
   Мүмкiн емес оқиғаның ықтималдығы нольге тең болады.
   
3. 
   Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы_{0< P(A) 1<} арасында болады.
   

m

W = P*(A) = , n

Ықтималдық сияқты, 0 ≤ P*(A) ≤1 болады.

Осы жерде айтып кетейiк; ықтималдықты тəжiрибе жасамай тұрып есептейдi, ал салыстырмалы жиiлiктi тəжiрибеден кейiн санайды.