ЛЕММА 2.4. Если оператор интегрирования, определенный формулой (2.4), то имеет место формула
 (2.6)
где - инволюция, определенный формулой (2.1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 
ЛЕММА 2.5. Если вольтерровый оператор, - унитарный оператор и имеют место равенства
     (2.7)
то операторное уравнение
 (2.8)
имеет в пространстве единственное решение вида
 (2.9)
где  - собственное значение оператора  , а  - собственные векторы этого оператора.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию леммы оператор компактный, а в силу условий  оператор - самосопряженный и компактный. По теореме Гильберта-Шмидта для любого вектора пространства имеет место разложение
где  . В нашем случае  , поэтому
Если  то  ,  , следовательно, система {} является полной ортогональной системой. Полагая ее ортонормированной, имеем
Достарыңызбен бөлісу: |
