Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- О РЕШЕНИЯХ СРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ НА ЭЛЕМЕНТАХ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ Джусупова Э. М.
- Лемма .
- Теорема .
, C(a)=C(a2)={е, a, a2} и  . В S3 подгруппа  является абелевым нормальным делителем. В группе преобразований тетраэдра Т={е, а, а2, b, ab, ba, a2b, ba2, aba, bab, a2ba, aba2} порядка 12, один из классов сопряженных элементов  , а  - четвертая группа Клейна и  . Причем, в группе Т  - абелев нормальный делитель. Отмеченные абелевы нормальные делители являются коммутантами в своих группах. Возникает гипотеза: при условии доказанной теоремы, не будет ли группа обладать абелевым коммутантом? Т.е. не будет ли она двуступенно разрешимой? В отличи от конечных групп нечетного порядка, примеры приведенных групп обладают элементами порядка два (инволюциями), т.е. это группы четного порядка. Пример группы 21-го порядка (группы нечетного порядка): ,   и  . Коммутант  - абелева группа. Остальные классы сопряженных элементов этой группы не содержат двух различных центрально-эквивалентных элементов и централизаторы этих элементов не являются нормальными делителями. Эта группа также двуступенно разрешима. Возникает еще одна гипотеза: если в классе сопряженных элементов группы некоторые различные два элемента центрально-эквивалентны, то не будут ли и все элементы этого класса центрально-эквивалентны?
Как показывает пример группы 21-го порядка элементы различных классов сопряженных элементов могут быт центрально-эквивалентны. А пример группы S3 показывает, что элементы одного класса сопряженных элементов  не центрально-эквивалентны и каждый из них представляет отдельный класс и централизаторы их в группе S3 не являются нормальными делителями, но они абелевы, т.е. атрибутивным свойством по обсуждаемому вопросу выступает перестановочность элементов класса сопряженных элементов. К тому же это согласуется с основным свойством центральной эквивалентности: из  следует, что  [6]. Отсюда  и  .
В этой связи возможно уточнение: не будет ли коммутант группы абелев, если эта группа обладает нетривиальным абелевым нормальным делителем? Известно из исследований [6] Марины Навалихиной, что  , где  . Используя этот результат, для группы , обладающей нетривиальным абелевым нормальным делителем , получим, что  . Отсюда коммутант группы абелев как подгруппа абелевой группы. Очевидно, что если сама группа абелева, то  . И в этом случае гипотеза справедлива.
Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем. Литература 1. Курош А. Г.. Теория группы. //М., Наука. 1967. С.648. 2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.. Основы теории групп. //М., Наука. 1972. С. 248. 3. Feit W. and Tompson G. Solvability of odd oder // Pac. Jour. Math.13 №3 1963. С.775-1029. 4. Павлюк Ин. И. О групповых сравнениях относительно отношения центральной эквивалентности // Международная конференция «Теория функций, алгебра и математическая логика» посвященная 90-летию академика А.Д.Тайманова. Алматы. 2007 г. С.48-51. 5. Абишев А. О законе сокращения для подмножеств группы (научный руководитель И. И. Павлюк). Сборник докладов Первой Республиканской студенческой научно-практической конференции по математике и информатике. Астана. 2008. С. 24-25. 6. Павлюк Ин.И. Отношение центральной сравнимости в теории групп // ДАН РТ. Душанбе. Т.58(8). С. 593-597. 7. Навалихина М.Ю., Павлюк И.И. О проблеме Дж. Томсона в теории групп //Вестник ПГУ им. С. Торайгырова серия физико-математическая. Т3. 2010 г. №3 С. 73-76 8. Павлюк И. И. Сравнения и проблема Черникова в теории групп // Павлодар. ПГУ. 2002 г. С. 222. 15BN 9965-568-78-1. УДК 512.54 О РЕШЕНИЯХ СРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ НА ЭЛЕМЕНТАХ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ Джусупова Э. М. Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар Научный руководитель - Павлюк И. И. В работе объектом исследования является сравнение от двух переменных величин относительно отношения равенства заданного на элементах группы. Предполагается, что данное сравнение задано на элементах конечной группы. Найдена довольно простая формула (1) дающая полное описание решений указанного сравнения. Начало теории сравнений в группах заложены в работах [3,1]. Сравнения – это выражения произвольной алгебраической системы (с переменными компонентами или без них), связанные между собой некоторым отношением, заданным на элементах этой системы [1]. Сравнение имеет конечный тип, если оно содержит конечное множество компонента. Если же оно содержит два компонента, то такое сравнение называется бинарным. Сравнение, содержащее, две переменные величины называются сравнениями с двумя переменными. Например, сравнение  , где  заданы на элементах группы – сравнение с двумя переменными, а сравнение –сравнение с одной переменной величиной. Решить групповое сравнение с переменными значит найти те значения переменных компонента среди элементов группы, которые удовлетворяют данному сравнению, или установить, что таковые отсутствуют среди элементов группы.
Лемма. Множество решений  группового сравнения от двух переменных и  относительно отношения равенства ("") элементов конечной группы порядка есть величина постоянная  , независящая от класса сопряженных элементов группы .
Доказательство. Зафиксируем в группе представитель класса сопряженных элементов  и рассмотрим сравнение  , где - произвольный элемент группы . Очевидно, решение  сравнения  в группе есть централизатор  элемента в группе , т. е.  .
Пусть  - индекс в группе централизатора элемента  . Тогда из равенства Лагранжа -  [2] следует, что  и  . Известно также, что  [2]. Теперь, очевидно, что  .
Далее, вместо элемента в сравнение будем последовательно ставить элемент из сопряженный с отличный от пока не исчерпаем все элементы класса . Так как  , то  .
Таким образом, Лемма доказана. Теорема. Множество решений  сравнения  в конечной группе равно порядку группы  умноженному на число классов сопряженных элементов группы , т. е. в конечной группе верна формула
 (1)
Доказательство, очевидно, вытекает из полученной леммы, поскольку число остается постоянным для любого класса сопряженных элементов группы , а число всех классов сопряженных элементов группа равно . Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем. жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|