Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет44/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   40   41   42   43   44   45   46   47   ...   184
Литература

  1. Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т. К спектральной теории уравнений с отклоняющимися аргументами. Математический журнал, Алматы 2004, т 4, №3 (13), 41-48с.

  2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1966.-543с.

  3. Гохберг Н.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1965.-448с.

  4. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве. //ДАН, 54(1946), 383-386с.

УДК 512.54


Об абелевом нормальном делителе группы
Джулагулов С. А.

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар
Научный руководитель - Павлюк И. И.
Работа относится к одному из наиболее абстрактных разделов теоретической математики – общей теории групп.

Наличие абелева нормального делителя у группы дает богатую информацию о самой группе и ее структуре. Одна из проблем Бернсайда о конечной группе нечетного порядка [2 с. 87] ставила задачу нахождения в такой группе нетривиального абелевого нормального делителя. Томсон и Фейт [3] решили эту проблему - конечная группа нечетного порядка разрешима. Решение показало, что такая группа содержит абелев нормальный делитель – это нетривиальный компонент ряда последовательности вложенных друг в друга коммутантов от последовательности коммутантов. Исследование в этом направлении остается актуальным и сейчас. С введение понятия центральной эквивалентности [6] элементов группы стало возможным вести поиск условий, при которых произвольная группа обладает нетривиальным абелевым нормальным делителем. Работа посвящена этому направлению.

Ключевые слова: абелева группа, подгруппа, нормальный делитель, нормализатор подгруппы, централизатор элемента группы, центр группы, сопряженные элементы группы [2,8], центрально-эквивалентные элементы группы [6].

В нижеследующих предложениях приведены наши доказательства известных фактов общей теории групп.



Предложения – это известные положения общей теории групп, их доказательства здесь изложены в новой уточненной интерпретации доступной для непосредственного восприятия.

Предложение 1 [5]. (Закон сокращения для подмножеств группы) В группе верна формула .

Предложение 2. Пусть - некоторое подмножество группы , - нормализатор множества в группе . Тогда - подгруппа группы .

Предложение 3. В группе подмножество - подгруппа тогда и только тогда, когда для любого элемента - подгруппа .

Предложение 4. В группе подгруппа тогда и только тогда является нормальным делителем, когда для любого элемента из группы , - нормальный делитель группы , т.е. .

СЛЕДСТВИЕ. Подгруппа группы является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда , т.е. .



Предложение 5. Пусть - централизатор элемента группы в группе , т.е. , - центр централизатора , - нормализатор централизатора в группе . Тогда является нормальным делителем группы .

Теорема. Если в группе существует класс сопряженных элементов такой, что некоторые его различные два элемента центрально - эквивалентны, то центр централизатора элемента в группе являются ее нетривиальным абелевым нормальным делителем, т.е.

.

Доказательство. Известно [2], что мощность класса сопряженных элементов группы , содержащего элемент , связана соотношением с индексом централизатора элемента в группе . Таким образом, , где - различные смежные классы группы по подгруппе . Отсюда . По существу каждый элемент множества для каждого переводит элемент в ему сопряженный . Так как , то каждый элемент множества переводится действием сопряжения в элемент с помощью соответствующих элементов множества - элементов из различных смежных классов группы по подгруппам , т.е. . Причем . Поскольку , а , то . Отсюда [6]. Далее, по условию теоремы . Отсюда следует, что [6]. Теперь, очевидно, что [1. ст.9]. Отсюда . Так как , то и - нормальный делитель . Теперь по предложению 5 - абелев нормальный делитель группы . Так как , то .

Теорема доказана.



Подтверждением полученной теоремы может служить пример симметрической группы третей степени S3= {е, а, а2, b, аb, а2b} с генетическим кодом а3=b2=е, bа=а2b, где класс сопряженных элементов

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   40   41   42   43   44   45   46   47   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет