Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Об абелевом нормальном делителе группы
| Литература
Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т. К спектральной теории уравнений с отклоняющимися аргументами. Математический журнал, Алматы 2004, т 4, №3 (13), 41-48с. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1966.-543с. Гохберг Н.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1965.-448с. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве. //ДАН, 54(1946), 383-386с. УДК 512.54 Об абелевом нормальном делителе группы Джулагулов С. А. Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар Научный руководитель - Павлюк И. И. Работа относится к одному из наиболее абстрактных разделов теоретической математики – общей теории групп. Наличие абелева нормального делителя у группы дает богатую информацию о самой группе и ее структуре. Одна из проблем Бернсайда о конечной группе нечетного порядка [2 с. 87] ставила задачу нахождения в такой группе нетривиального абелевого нормального делителя. Томсон и Фейт [3] решили эту проблему - конечная группа нечетного порядка разрешима. Решение показало, что такая группа содержит абелев нормальный делитель – это нетривиальный компонент ряда последовательности вложенных друг в друга коммутантов от последовательности коммутантов. Исследование в этом направлении остается актуальным и сейчас. С введение понятия центральной эквивалентности [6] элементов группы стало возможным вести поиск условий, при которых произвольная группа обладает нетривиальным абелевым нормальным делителем. Работа посвящена этому направлению. Ключевые слова: абелева группа, подгруппа, нормальный делитель, нормализатор подгруппы, централизатор элемента группы, центр группы, сопряженные элементы группы [2,8], центрально-эквивалентные элементы группы [6]. В нижеследующих предложениях приведены наши доказательства известных фактов общей теории групп. Предложения – это известные положения общей теории групп, их доказательства здесь изложены в новой уточненной интерпретации доступной для непосредственного восприятия. Предложение 1 [5]. (Закон сокращения для подмножеств группы) В группе верна формула  .
Предложение 2. Пусть - некоторое подмножество группы ,  - нормализатор множества в группе . Тогда - подгруппа группы .
Предложение 3. В группе подмножество - подгруппа тогда и только тогда, когда для любого элемента   - подгруппа .
Предложение 4. В группе подгруппа тогда и только тогда является нормальным делителем, когда для любого элемента из группы , - нормальный делитель группы , т.е.  .
СЛЕДСТВИЕ. Подгруппа группы является нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда Предложение 5. Пусть  - централизатор элемента группы в группе , т.е.  ,  - центр централизатора ,  - нормализатор централизатора в группе . Тогда является нормальным делителем группы .
Теорема. Если в группе существует класс сопряженных элементов такой, что некоторые его различные два элемента центрально - эквивалентны, то центр  централизатора  элемента в группе являются ее нетривиальным абелевым нормальным делителем, т.е.
 .
Доказательство. Известно [2], что мощность класса сопряженных элементов группы , содержащего элемент  , связана соотношением  с индексом централизатора  элемента в группе . Таким образом,  , где  - различные смежные классы группы по подгруппе   . Отсюда  . По существу каждый элемент множества  для каждого переводит элемент в ему сопряженный  . Так как  , то каждый элемент множества  переводится действием сопряжения в элемент с помощью соответствующих элементов множества  - элементов из различных смежных классов группы по подгруппам  , т.е.  . Причем  . Поскольку  , а  , то  . Отсюда  [6]. Далее, по условию теоремы  . Отсюда следует, что  [6]. Теперь, очевидно, что   [1. ст.9]. Отсюда  . Так как  , то  и  - нормальный делитель . Теперь по предложению 5  - абелев нормальный делитель группы  . Так как , то  .
Теорема доказана. Подтверждением полученной теоремы может служить пример симметрической группы третей степени S3= {е, а, а2, b, аb, а2b} с генетическим кодом а3=b2=е, bа=а2b, где класс сопряженных элементов  жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
, т.е. 
.