ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - ограниченное открытое множество в и пусть  - ограниченная последовательность элементов из пространства Соболева  , т.е..
 . (2.1)
Тогда существует подпоследовательность  ,  , которая фундаментальна в  .
ЛЕММА 2.1. Операторы
 ,  (2.2)
и
 ,  (2.3)
унитарно эквивалентны в пространстве  .
СЛЕДСТВИЕ 2.1.  (2.4)
ЛЕММА 2.2. Если  , то задача Штурма-Лиувилля
 ,  (2.5)
 (2.6)
имеет бесконечное множество положительных собственных значений и соответствующих им полной и ортогональной системы собственных функций.
ЛЕММА 2.3. Если  ,  является полной и ортонормированной системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (5)-(6), то сильное решение задачи Коши
 ,  (2.7)
 (2.8)
имеет вид
 , (2.9)
где  ,  скалярное произведение в  .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
 , (2.10)
тогда
 , (2.11)
Собственная функция задачи Штурма-Лиувилля имеет вид
 ,  (2.12)
где  , является корнями уравнения
 ,  (2.13)
а  нормировочные коэффициенты.
Воспользовавшись свойствами тригонометрических функций выразим  через  и  .
 (2.14)
Подставив (14) в (11) имеем
 ,
Правая часть этого равенства сходится к  при  . Из формулы (10) очевидно, что последовательность  сходится в . Следовательно, по определению
 ,
является сильным решением задачи Коши (7)+(8).
Достарыңызбен бөлісу: |
