Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ

1. 
   Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН, 1957, №5, с.3-122.
   
2. 
   Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – М.: Высш. шк., 1990. – 200с.
   
3. 
   Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М., 1966.
   

УДК 51

Задачи с модулями играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение у учащихся вызывает значительные трудности. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство представляет собой несколько обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Уравнения, неравенства и другие задачи связанные с модулем, в последние годы стали широко использоваться как на школьных экзаменах, так и на ЕНТ. К сожалению, эти задачи либо мало, либо вообще не представлены в учебниках для массовых школ.

В школе дают стандартный метод решения – с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Этот способ достаточно универсален, однако часто требует длительных выкладок. Мы предлагаем один из возможных приемов решения подобных задач, основанный на понятии расстояния, геометрического смысла определения модуля. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Понятие «расстояние» школьникам хорошо знакомо. Поэтому, обращаясь к их жизненному опыту, можно сделать легкодоступным и понятие модуля. Заметим, что на координатной оси расстояние от начала отсчета до точки с координатой, а равно │а│. Можно это проверить наглядно, выбрав конкретные точки, как в положительной области, так и в отрицательной. Тогда │а - b│ можно понимать как расстояние на координатной оси между точками а и b. Договоримся, прежде всего, что расстояние измеряем в шагах – один шаг равен одной единице. Тогда понятно, что │2 │= │- 2 │, так как и в том и в другом случае, необходимо сделать 2 шага, чтобы из начала координат – точки О(0) – попасть в нужную точку. Только до точки 2 шагаем вправо, а до точки - 2 – влево. Точно так же, чтобы найти │8 – 5│, нужно сосчитать количество шагов от 8 до 5. Никому и в голову не придет сказать, что здесь - 3 шага. Однако при традиционном определении модуля ошибки вида │3│= - 3 весьма часты: учащиеся меняют знак по аналогии с изменением знака в записи: -(-3) = 3.

Сформулируем теперь, используя расстояния, некоторые свойства модуля.

1º. При любых значениях а выражение │а│ принимает неотрицательные значения.

При любом выборе точки расстояние от нее до начала координат не может быть отрицательным; оно равно нулю только тогда, когда выбранная точка совпадает с началом координат.

2º. Расстояние от а до b равно расстоянию от b до а, т.е.

│а - b│ = │ b - а│.

3º. Расстояние между точками А (а) и В ( ± b) меньше либо равно сумме расстояний между точкой О и точками В, А, т.е.

│а ± b,│ ≤ │а│+ │ b│.

Выполним преобразование │а ± b│ = │а – (± b)│, ясно, что сформулированные выше утверждение следует из неравенства треугольника.

Продемонстрируем на примерах как, пользуясь расстоянием, можно решать задачи с модулем. Чтобы облегчить решение, целесообразно сначала добиться безошибочно, ответить на вопросы подобно этим:

«Чему равно расстояние от точки - 2 до 4?»,

«Какие точки находятся на расстоянии 2 от точки 0? От точки 1?»,

« Когда расстояние между точками равно нулю?»,

рис. 1

1. 
   два решения х и х, если с  │а - b│, причем
   

2) множество решений [а, b, если с = │а - b│;

3) не имеет решений, если с < │а - b│.

Пример 7. Решить неравенство │х + 2│ – │ х – 5│  5.

Решение. Нужно найти такую точку х, расстояние от которой до точки 2 на 5 больше, чем расстояние от нее до точки 5. Где может находиться такая точка? Если х лежит левее - 2, то понятно, что расстояние │х + 2│ меньше, чем расстояние │х + 5│, так как точка х ближе к - 2, чем к 5. Если х лежит правее 5, то искомая разность расстояний равна длине отрезка [ - 2; 5, т. е. 7, следовательно, все точки из промежутка (5; +) удовлетворяют условию.

Пусть теперь х лежит на отрезке [ - 2; 5.

рис. 2

││х - а│ - │х - а││ = 2а - 2 (*)

Пусть теперь а  ( -1; 1, тогда ││х - а│-│х - а││=│а - а│= а- а

для всех х, лежащих вне промежутка (а; а) выражение ││х - а│ - │х - а││ может принимать любые значения от 0 до а- а, причем ровно по два раза кроме нулевого. Выражение ││х - а│ - │х - а││ может быть равно нулю только один раз, когда точка х совпадает с серединой интервала (а; а). Таким образом, исходное уравнение будет иметь ровно два решения, если 0 < 2а - 2 < а- а.

Решим полученное неравенство а+ а – 2 < 0  а  (- 2; 1).

Установим, что 0 < 2а - 2 при а  [ - 1; 1, находим окончательный ответ: а  ( - 2; - 1). Исходное уравнение имеет единственное решение только при а = - 1.

При решении стандартным методом, раскрывая модули на промежутках, пришлось бы перебрать весьма много уравнений, в то время как при описанном способе достаточно применять свойства расстояний. Считаем что, предлагаемый нами метод наиболее эффективный способ, предусматривающий рациональное использование времени и силы учащегося на ЕНТ и показывает значимость нестандартного метода решения задачи с модулем на практике.

1. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс / И.Ф. Шарыгин – М.,1989.

2. Тесты ЕНТ 2008 -2010 г.г

УДК 517.9

является решением уравнения теплопроводности и . Причина этого явления заключена в возможности быстрого роста при . Тэклинд (1937) доказал, что если - неубывающая нечетная функция, то оценка

определяет класс единственности, если и только если

Этот результат тесно связан с критерием квазианалитичности. В частности, условию (1.5) удовлетворяет функция , определяющая известный класс единственности,

выделенный А.Н.Тихоновым (1935).

С помощью преобразования Фурье Г.Н.Золотарев (1958) получил критерий типа Тэклинда. Общий результат хорошо иллюстрируется следующим примером: для уравнения

(1.7)

с комплексным класс единственности в задаче Коши определяется оценкой

При это- уравнение теплопроводности, при - обратный теплопроводности, при - простейший случай нестационарного уравнения Шредингера.

Отметим, что при задача Коши для уравнения (1.7) некорректна в том смысле, что нет непрерывной зависимости решения (в равномерной метрике на сколь угодно малом временном интервале) от начальной функции.

Применяя технику обобщенных преобразований Фурье, Г.Е.Шилов (1955) установил, что задача Коши для уравнения теплопроводности в классе (1.8) корректна.

где - комплексная постоянная, , , .

При доказательстве вполне непрерывности обратного оператора соответствующего краевой задаче весьма полезным окажется следующая теорема Реллиха 3.стр.165.