Вспомогательные предложения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 [3]. Система элементов  ,  называется
базисом гильбертова пространства , если каждый элемент  представим единственным образом в виде сходящегося ряда
 . (2.1)
Если, кроме того, выполняются равенства
 ,  (2.2)
то базис называется ортонормальным (или ортонормированным).
Примером ортонормированного базиса в вещественном пространстве  является тригонометрическая система
  (2.3)
Пусть  - произвольный ортонормированный базис пространства и -некоторый линейный ограниченный обратимый оператор. Тогда для любого вектора 
 ,
и следовательно,
 ,
где
 ,  ,  . (2.4)
Очевидно,
, ().
Поэтому, если
  , (2.5)
то
 ,
т.е. разложение (2.5) единственно.
Таким образом, всякий ограниченный обратимый оператор преобразует любой ортонормированный базис в некоторый другой базис пространства  Базис  , пространства , получаемый из ортонормированного базиса с помощью такого преобразования, называется базисом, эквивалентным ортонормированному (по терминологии Н.К.Бари [4] –базисом Рисса).
Достарыңызбен бөлісу: |
