Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- О ВЫЧИСЛИМОСТИ ФАКТОРГРУППЫ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ ПО ЦЕНТРУ Бакимбаева А.Т.
Литература Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т. О полноте собственных векторов задачи Коши.- Наука и образование ЮК, №27, 2002.- 58-62с. Гохберг Н.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1965.-448с. Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве. //ДАН, 54(1946), 383-386с. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.- М.: Мир, 1977.-504с. УДК 512.54+510.5 О ВЫЧИСЛИМОСТИ ФАКТОРГРУППЫ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ ПО ЦЕНТРУ Бакимбаева А.Т. ВКГТУ им. Д. Серикбаева, г. Усть-Каменогорск Научный руководитель – Хисамиев Н.Г. Изучение конструктивных групп начато в [1], где А.И. Мальцев поставил общую задачу: «определить, какие конструктивные нумерации допускают те или иные абстрактно заданные группы». Конструктивные абелевы группы изучались в работах А.И. Мальцева, Ю.Л. Ершова, С.С. Гончарова, В.П. Добрица, А.Т. Нуртазина, Н.Г. Хисамиева, Дж. Найт и других авторов. Конструктивные нильпотентные группы исследованы мало. Ю.Л. Ершов [2] доказал, что конструктивизация локально нильпотентной группы без кручения продолжается естественным образом до ее пополнения. В работе С.С. Гончарова, А.В. Молокова, Н.С. Романовского [3] построена нильпотентная группа, алгоритмическая размерность, которой конечна. В работе В.А. Романькова, Н.Г. Хисамиева [4] доказаны, что матричные группы  над коммутативным ассоциативным кольцом К с единицей конструктивизируемо. Н.Г. Хисамиевым в [5] найден критерий вычислимости 2-х ступенно нильпотентной группы. И.В. Латкин [6] построил пример вычислимо перечислимо определенной 2-х ступенно нильпотентной группы без кручения, которая не вычислима.
В данной работе получено условие вычислимости факторгруппы нильпотентной группы без кручения по центру. Все используемые, но не определенные понятия можно найти по теории конструктивных моделей в [7], а по теории групп [8]. Напомним лишь некоторые из них, часто употребляемые в данной работе. Пусть G – группа. Отображение Пусть М – подмножество группы G. Множество Определим в G возрастающий и убывающий ряды  ;  ;
следующим образом:  ,  и если подгруппы  и  уже определены, то  и  , здесь [А,В] – взаимный коммутант подгрупп А и В. Полученные ряды подгрупп называются соответственно верхним и нижним центральным рядом, а и - n-м централом и n-м гиперцентралом группы G.
Группа G называется нильпотентной ступени n, если справедливо равенство Секцией группы G называется всякая факторгруппа В/А, где В, А – подгруппы из G, причем А – нормальная подгруппа в В. ТЕОРЕМА. Пусть (G,) – вычислимая нильпотентная группа без кручения и в ней существует вычислимо перечислимая подгруппа H, содержащая центр С группы G, и такая, что размерность r (H/C) конечна. Тогда факторгруппа G/С вычислима. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ,  - гиперцентры группы H, отличные от 1. Так как центр С содержится в H, то, очевидно, что справедливо включение  . Индукцией по n докажем, что центр С вычислимая подгруппа в (G,). Справедливо  . Пусть  . При фиксированном n применим индукцию по n. Если n=1 и  , то H=С. Тогда центр С - вычислимо перечислимая подгруппа. Так как G\С вычислимо перечислимое множество, то по теореме Поста центр С вычислим в (G,). Пусть теперь  и  и элемент  . Тогда в G существует элемент не перестановочный с h по модулю  . Через С() обозначим централизатор элемента в G и пусть  . Тогда  и - вычислимо перечислимая подгруппа в (G,). Если ступень нильпотентности группы меньше n, то теорема доказана. Пусть  , где - гиперцентры группы . Тогда - центр группы  . Если  , то по индукционному предположению получаем требуемое. Легко проверить, что  ,  . Пусть  и  - базис группы . Так как - абелева без кручения и она изоморфна подгруппе факторгруппы  , то будет базисом группы . Отсюда следует, что существуют такие числа к,  и элемент  , что справедливо  . Так как для любого i верно  , а  , то  . Это противоречит выбору . Отсюда . Следовательно по индукционному предположению центр С вычислим. Отсюда факторгруппа G/С вычислима. Теорема доказана.
жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
множества всех натуральных чисел на G называется нумерацией группы G. Если существует алгоритм, которой по любым числам n, m и s определяет справедливость равенства n·m=s, то пара (G,) называется конструктивной группой. Группа G называется конструктивизируемой, если 
называется вычислимо перечислимой (вычислимой) в (G,), если множество 
вычислимо перечислимо (вычислимо). Максимальная система линейно независимых элементов абелевой группы без кручения А называется базисом группы А, а число элементов базиса – размерностью группы А.
называется централизатором М в группе G. Централизатор всей группы называется ее центром и обозначается через С.