Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ



бет74/184
Дата08.06.2018
өлшемі13,94 Mb.
#41389
1   ...   70   71   72   73   74   75   76   77   ...   184

Литература

1 Кулаков Г.Т. Инженерные экспресс− методы расчета промышленных систем регулирования. – Минск.: Вышэйшая школа, 1984. – 192 с.

2 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

УДК 512. 54.


О модуляторе элемента группы
Мельникова Л. П.

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар
Научный руководитель - Павлюк И. И.
Предложение. Модулятор элемента группы относительно отношения центральной сравнимости является абелевой группой.

Доказательство. То что - подгруппа группы установлено в [1,2]. Если , то из следует что . Т.е. в этом случае абелева группа. Пусть . Рассмотрим класс . Если Ø, то и аналогичные рассуждения как в начале абзаца, приведут нас к нужному заключению. Рассмотрим вариант когда Ø. Так как , то и . Так как , а - подгруппа группы [1], то . Отсюда , а и - абелева группа.

Предложение доказано.

Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
Литература


  1. Павлюк Ин. И., Павлюк И. И. К теории сравнений в группах // Вестник ПГУ им. С. Торайгырова. Серия физико-математическая. Павлодар. ПГУ. 2004 г. №3. С. 34-49.

  2. Павлюк Инесса Отношение центральной сравнимости в теории групп //Доклады АН РТ.-2009.-Т. 52(8).-С. 593-597.

УДК 517.91


О ПРИЗНАКАХ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Муфтиллаева Ж.А.

Южно-Казахстанский Государственный Университет им.М.О.Ауезова, г.Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
Введение

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве называется симметрическим, если , то есть если и для всех .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Оператор называется самосопряженным, если , то есть тогда и только тогда, когда симметричен и .

Симметрический оператор всегда допускает замыкание, поскольку , а значит, область плотно в . Если симметричен, то - замкнутое расширение . Поэтому наименьшее замкнутое расширение оператора должно содержаться в , итак для симметрического оператора имеем

.

Для замкнутого симметрического оператора имеем

,

а для самосопряженного оператора

.

Отсюда видно, что замкнутый симметрический оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда симметричен.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Симметрический оператор называется в существенном самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. Если замкнут, то подмножество называется существенной областью определения оператора если замыкание сужения оператора на совпадает с .



Если в существенном самосопряжен, то он имет одно и только одно самосопряженное расширение. Действительно, если предположить, что - самосопряженное расширение , то замкнут и из получаем . Отсюда . Поэтому .

Справедливо и обратное утверждение, а именно, если оператор имеет одно и только одно самосопряженное расширение, то - самосопряжен в существенном.

Отметим, что симметрический оператор может иметь много самосопряженных расширений или совсем их не иметь.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим в гильбертовом пространстве  операторов Штурма-Лиувилля



, , (1.1)

(1.2)

где - произвольные комплексные числа.

Спрашивается, при каких условиях на коэффициенты эти операторы окажутся самосопряженными в существенном?

В связи с поставленной задачей отметим следующие известные результаты.



ТЕОРЕМА 1.1 [1]. Если коэффициенты граничных условий действительные числа, то задача Штурма-Лиувилля (или оператор Штурма-Лиувилля) самосопряжена, тогда и только тогда, когда имеет место равенство

(1.3)

где - миноры составленные из - го и - го столбцов матрицы



, (1.4)

составленной из коэффициентов граничного условия (1.2).



Если коэффициенты комплекснозначны, то критерии самосопряженности имеет следующий вид [2].

ТЕОРЕМА 1.2 [2]. Пусть , где - положительна, производная абсолютно непрерывна на интервале , а функция - непрерывна и действительна. Пусть

. (1.5)

Формы самосопряжены тогда и только тогда, когда



(1.6)

Отметим, что если коэффициенты - действительны, то требуется только последнее условие.



2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Для вывода основного результата настоящей работы были использованы следующие, легко доказываемые леммы.



ЛЕММА 2.1. Если непрерывна в сегменте и

, (2.1)

(2.2)

то при


существует обратный оператор , который имеет вид





. (2.3)

ЛЕММА 2.2. Интегральный оператор

, (2.4)

является сопряженным оператором к интегральному оператору



,

в пространстве  тогда и только тогда, когда



. (2.5)

Следует отметить, что ядро из класса Гильберта-Шмидта.



ЛЕММА 2.3. Если существует обратный оператор к оператору Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2), сопряженный к которому имеет вид

, (2.6)

где


(2.7)

ЛЕММА 2.4. Если оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) является обратимым в пространстве , то сопряженный оператор имеет следующий вид

, (2.8) (2.9)

ЛЕММА 2.5. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен тогда и только тогда, когда

, , (2.10)

.

ЛЕММА 2.6. Если , то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) обратим, замыкаем и имеет место формула

(2.11)

ЛЕММА 2.7. Если  и , то .

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ТЕОРЕМА 3.1. Если

а) , (3.1)

, б), (3.2)

,

то оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) самосопряжен в существенном в пространстве .



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условий (3.1), (3.2) и леммы 2.5 оператор Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) симметричен, а в силу леммы (2.6) он замыкаем. Замыкание любого симметрического оператора будет симметрическим оператором.

Таким образом, замыкание оператора Штурма-Лиувилля  является симметрическим оператором, область значений, которого совпадает со всем пространством  (см.2.11).

Тогда в силу леммы 2.7 имеет место равенство , т.е. оператор самосопряжен, что и утверждалось теоремой 3.1.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Харков, 1939, 717с.

  2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: ИЛ, 1958, 474с.

МӘНІСІ

Бұл еңбекте Штурм-Лиувилл операторының тегі жалқы болуының бір белгісі табылды.



SUMMARY

In persisting work is received one sufficient sign самосопряженности in essential operator of the Shturm-Liuvillya: with the general linear independent marginal condition.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   70   71   72   73   74   75   76   77   ...   184




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет