Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):
Δ(m1υ⃗ 1)=(F⃗ 12+F⃗ 13+F⃗ 1)Δt, Δ(m2υ⃗ 2)=(F⃗ 21+F⃗ 23+F⃗ 2)Δt, (6) Δ(m3υ⃗ 3)=(F⃗ 31+F⃗ 32+F⃗ 3)Δt. Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела p⃗ i=miυ⃗i за малое время Δt. Более подробно
Δ(miυ⃗ i)=miυ⃗ ik−miυ⃗ in где υ⃗ in — скорость в начале, а υ⃗ ik — в конце интервала времени Δt.
Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного
p⃗ c=m1υ⃗ 1+m2υ⃗ 2+m3υ⃗ 3. (7) Действительно,
Δ(m1υ⃗ 1)+Δ(m2υ⃗ 2)+Δ(m3υ⃗ 3)=m1υ⃗ 1k−m1υ⃗ 1n+m2υ⃗ 2k−m2υ⃗ 2n+m3υ⃗ 3k−m3υ⃗ 3n= =(m1υ⃗ 1k+m2υ⃗ 2k+m3υ⃗ 3k)−(m1υ⃗ 1n+m2υ⃗ 2n+m3υ⃗ 3n)=p⃗ ck−p⃗ cn=Δp⃗ c.
