Информационное письмо



бет11/29
Дата28.12.2021
өлшемі1,85 Mb.
#128954
түріЛекции
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   29
Байланысты:
Силлабус теоретические основыДУ и выч матем маг

Литература: [2] гл. IX, §1,2, стр.355-370.
7 неделя

Тема: Понятие функционала.

Содержание лекции: Примеры функционалов. Функционалы в линейных нормированных пространствах.

Если каждой функции из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число V, то говорят, что на этом множестве задан функционал и пишут . Приведем примеры функционалов.



  1. Длина плоской кривой, заданной уравнением , :

.

  1. Вообще, любой определенный интеграл:

.

  1. Стоимость проезда по дорогам, имеющим вид кривых, соединяющих пункты и .

Основная задача вариационного исчисления — исследование функционалов на экстремум и отыскание тех функций, на которых этот экстремум достигается.
Приведем примеры таких задач.

  1. Из всех кривых на плоскости, соединяющих точки и , найти ту, которая имеет наименьшую длину. Ответ очевиден: отрезок прямой, соединяющей точки и .




  1. Из различных дорог, соединяющих пункты и , выбрать ту, по которой стоимость проезда из в минимальна.

Здесь ответ уже не столь очевиден. Прямолинейный путь из в может оказаться труднопроходимым и дорогим, а более длинный путь может оказаться более выгодным.

Большую роль в развитии вариационного исчисления сыграли следующие классические задачи.

1. Задача о брахистохроне — линии, по которой материальная точка быстрее всего соскальзывает под действием силы тяжести из точки в точку ( и не лежат на одной вертикали).

2. Задача о геодезической линии — линии наименьшей длины, расположенной на заданной поверхности и соединяющей две данные точки.

3. Задача Дидоны — ремешком данной длины ограничить участок земли наибольшей площади.

Функционалы в линейных нормированных пространствах. Функционал является обобщением понятия функции. Функция одной переменной ставит в соответствие одному числу другое число . Функция нескольких переменных ставит в соответствие конечной совокупности чисел x1, ..., хп число у. Функционал ставит в соответствие функции у = у(х) (бесконечному числу ее значений) число V.


Множество функций у(х), на котором определен функционал V [у], называется областью определения функционала, а число V — значением функционала.

Часто аргумент функционала — функцию у(х) — как элемент некоторого функционального пространства называют также "точкой".

Для изучения таких понятий, как приращение функционала, непрерывность функционала, экстремум функционала и многих других, существенно понятие "расстояния" между аргументами функционала — элементами различных линейных нормированных функциональных пространств. Такими пространствами являются, например:

С — пространство функций, непрерывных на сегменте ,


Сk — пространство функций, к раз непрерывно дифференцируемых на сегменте .



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   29




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет