Информационное письмо

Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Рассмотрим функционал

с граничными условиями

(2)

Функция раз непрерывно дифференцируема. Экстремалями функционала (1), имеющими производную порядка 2п, являются решения уравнения Эйлера—Пуассона.

Общее решение зависит от 2п произвольных постоянных, которые определяются из условий (2).
Функционалы, зависящие от нескольких функций. Рассмотрим функционал

с граничными условиями

(3)

Функция F дважды непрерывно дифференцируема. Экстремалями функционала, имеющими непрерывные производные второго порядка, являются решения системы уравнений Эйлера.

Общее решение системы m уравнений Эйлера второго порядка зависит от 2m произвольных постоянных, определяемых из условий (3).

Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных. Рассмотрим вариационную задачу

Функция F дважды непрерывно дифференцируема, D — область на плоскости хОу, Г — граница области D.

Если на поверхности z = z(x,y), имеющей непрерывные частные производные второго порядка, достигается экстремум функционала (4), то функция z=z(x,y) удовлетворяет уравнению Эйлера-Остроградского

( 6)

где

– полные частные производные по x.

Из общего решения уравнения в частных производных второго порядка (6) выделяется частное решение z = z(x,y), принимающее на границе Г заданные значения (5).

Инвариантность уравнения Эйлера. Если функционал

(7)
преобразуется путем замены переменных, то экстремали функционала (7) по-прежнему находятся из уравнения Эйлера, но уже для преобразованного функционала. В полученных экстремалях возвращаются к исходным переменным:

• 
  ряде задач использование свойства инвариантности облегчает интегрирование уравнения Эйлера.