Информационное письмо

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными; однако значительная часть результатов, которые мы получим, может быть распространена на случай любого числа независимых переменных. Мы ставим своей задачей разрешение уравнения

Оказывается, более простой задачей является решение не одного уравнения вида (1), а системы двух совместных уравнений вида (1), т.е. двух уравнений, допускающих общее им обоим решение . Эту задачу мы и рассмотрим в первом параграфе. Решение мы будем интерпретировать как поверхность (интегральная поверхность).

Система двух совместных уравнений первого порядка. Пусть нам даны два уравнения:

,

(2)

где , .

Мы предположим, что в некоторой области изменения переменных , , , , эти уравнения могут быть разрешены относительно и . Напишем результат разрешения в виде:

,

(3)

Два уравнения (2) или (3), содержащих только одну искомую функцию , не являются, вообще говоря, совместными, т. е. не имеют общих решений. Выведем необходимое условие совместности системы, написанной в форме (3). Допустим, что существует общее решение обоих уравнений , имеющее непрерывные частные производные первого порядка и непрерывную производную . Подставив это решение в уравнения (3), мы получим тождества. Из этих тождеств можно найти два выражения для второй производной . Из первого уравнения имеем:

или (заменяя , в силу второго уравнения, его значением):

(Мы предполагаем существование и непрерывность частных производных в окрестности начальной точки (х₀, у₀, z₀).) Приравнивая друг другу оба значения второй смешанной производной (ввиду ее непрерывности, результат не зависит от порядка дифференцирования), получаем искомое необходимое условие: