Литература: [10] гл. 9, §5, [5] гл. 5 §3-5.
9 неделя
Тема: Задача с подвижными границами.
Содержание лекции: Постановка задачи. Необходимые условия экстремума. Постановка задачи.
Рассмотрим функционал
на кривых у(х) ∈ С1 [а, b], граничные точки которых А(x0,y0) и B(x1,y1) в свою очередь лежат на заданных гладких кривых
,
(1)
,
так что , .
Отметим, что абсциссы x0 и x1 точек А и В заранее не фиксированы и подлежат определению.
Задача с подвижными границами ставится так: среди всех функций у(х) ∈ С1 [а, b], графики которых соединяют точки двух данных кривых , , найти ту, которая доставляет экстремум функционалу V[y] (см. рис).
Необходимые условия экстремума. Для того, чтобы функция доставляла экстремум функционалу (1) среди всех кривых у(х) ∈ С1 [а, b], соединяющих точки двух заданных линий , , необходимо, чтобы:
1) кривая была решением уравнения Эйлера для функционала (являлась экстремалью),
2) в точках А(x0,y0) и B(x1,y1) пересечения экстремали с кривыми , выполнялись условия трансверсальности
Условия устанавливают связь между угловыми коэффициентами и φ’, а также и ψ' в граничных точках А и В.
Замечание 1. Условия, которых недостаточно для определения четырех параметров C1, C2 (из общего решения уравнения Эйлера), x0, x1 нужно дополнить двумя естественными условиями
Замечание 2. Если граничная точка (например, точка В) может перемещаться только по вертикальной прямой условие трансверсальности принимает вид:
Замечание 3. Если граничная точка (пусть точка А) может перемещаться только по горизонтальной прямой , то условие трансверсальности принимает вид
Достарыңызбен бөлісу: |
