Информационное письмо

Рассмотрим функционал

на кривых у(х) ∈ С¹ [а, b], граничные точки которых А(x₀,y₀) и B(x₁,y₁) в свою очередь лежат на заданных гладких кривых

(1)

так что , .

Отметим, что абсциссы x₀ и x₁ точек А и В заранее не фиксированы и подлежат определению.
Задача с подвижными границами ставится так: среди всех функций у(х) ∈ С¹ [а, b], графики которых соединяют точки двух данных кривых , , найти ту, которая доставляет экстремум функционалу V[y] (см. рис).

Необходимые условия экстремума. Для того, чтобы функция доставляла экстремум функционалу (1) среди всех кривых у(х) ∈ С¹ [а, b], соединяющих точки двух заданных линий , , необходимо, чтобы:

1) кривая была решением уравнения Эйлера для функционала (являлась экстремалью),

2) в точках А(x₀,y₀) и B(x₁,y₁) пересечения экстремали с кривыми , выполнялись условия трансверсальности

Замечание 1. Условия, которых недостаточно для определения четырех параметров C₁, C₂ (из общего решения уравнения Эйлера), x₀, x₁ нужно дополнить двумя естественными условиями

Замечание 3. Если граничная точка (пусть точка А) может перемещаться только по горизонтальной прямой , то условие трансверсальности принимает вид