15 неделя:
Тема: Интегральные уравнения.
Содержание лекции: Вводные замечания. Виды интегральных уравнений. Вводные замечания.
Интегральным уравнением называется такое уравнение, неизвестная функция в котором содержится под знаком интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид
(1)
Здесь х — независимая переменная, у(х) — искомая функция, К(х, s, у) — ядро интегрального уравнения, f(x,y) — правая часть уравнения, s - переменная интегрирования.
К интегральным уравнениям приводят многие инженерные задачи (в радиотехнике, газовой динамике, квантовой механике и т. п.). Интегральная форма уравнений движения в виде законов сохранения используется также и при построении консервативных разностных схем для некоторых типов задач (в частности, в механике сплошной среды).
Для решения некоторых задач удобнее использовать интегральные уравнения, чем дифференциальные. Например, постановку задачи Коши
можно представить в виде интегрального уравнения
Таким образом, интегральное уравнение содержит полную постановку задачи, и дополнительные условия (начальные или граничные) для него задавать не нужно. Отметим еще одно преимущество интегральных уравнений. Уравнение (1) записано для случая одной независимой переменной х. Однако легко записать его многомерный аналог при наличии независимых переменных . Для некоторой области G в рассматриваемом n-мерном пространстве многомерное интегральное уравнение можно записать в виде
Методы решения одномерных уравнений естественно обобщаются на случай многомерных интегральных уравнений (одномерные интегралы заменяются многомерными). В то же время при рассмотрении дифференциальных уравнений переход от одномерного случая (обыкновенные уравнения) к многомерному (уравнения с частными производными) требует совершенно других подходов и методов решения.
Литература: [15] гл.9 §4
Достарыңызбен бөлісу: |
