Информационное письмо



бет14/29
Дата28.12.2021
өлшемі1,85 Mb.
#128954
түріЛекции
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29
Байланысты:
Силлабус теоретические основыДУ и выч матем маг

Литература: [10] гл. 9, §7, [5] гл. 7, §1.
10 неделя

Тема: Абсолютная и относительная погрешность.

Содержание лекции: Приближенное число. Абсолютная погрешность приближенного числа. Относительная погрешность. Основные источники погрешности.

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а< А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку, если же а>А, то — по избытку. Например, для число 1,41 будет приближенным значением по недостатку, а 1,42 — по избытку, так как 1,41 < < 1,42. Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а≈ А.

Под ошибкой или погрешностью приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т. е.


Если А>а, то ошибка положительна: ∆а>0; если же А<а, то ошибка отрицательна ∆а<0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку ∆а, т. е.

Таким образом, точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой, равной нулю. Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа


Определение 1. Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.


(1)


Здесь следует различать два случая:

1) число А нам известно, тогда абсолютная погрешность ∆ легко определяется по формуле (1).

2) число А нам не известно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность ∆ по формуле (1).

В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность.

Определение 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Таким образом, если ∆а – предельная абсолютная погрешность приближенного числа а, заменяющего точное А, то



(2)
Отсюда следует, что точное число А заключено в границах



(3)


Следовательно, есть приближение числа А по недостатку, а — приближение числа Л по избытку.

В этом случае для краткости пользуются записью




Заметим, что сформулированное выше понятие предельной абсолютной погрешности является весьма широким, а именно: под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел ∆а, удовлетворяющих неравенству (2). Отсюда логически вытекает, что всякое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближенного числа, также может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа. Практически удобно в качестве ∆а выбирать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее неравенству (2).

Определение 3. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности ∆ этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А≠0), т.е.



(4)
Отсюда

Так же как и для абсолютной погрешности, введем понятие предельной относительной погрешности.
Определение 4. Предельной относительной погрешностью δ а данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. По определению имеем:


(5)


т. е. , отсюда Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять:

(6)
Так как на практике А ≈ а, то вместо формулы (6) часто пользуются формулой:






Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет