Информационное письмо



бет10/29
Дата28.12.2021
өлшемі1,85 Mb.
#128954
түріЛекции
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   29
Байланысты:
Силлабус теоретические основыДУ и выч матем маг

Литература: [2] гл. VII, §1, п.2, [5] гл. 3 §2, [3] стр.119-120
6 неделя

Тема: Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Содержание лекции: Система двух совместных уравнений первого порядка. Уравнение Пфаффа.

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными; однако значительная часть результатов, которые мы получим, может быть распространена на случай любого числа независимых переменных. Мы ставим своей задачей разрешение уравнения



. (1)

Оказывается, более простой задачей является решение не одного уравнения вида (1), а системы двух совместных уравнений вида (1), т.е. двух уравнений, допускающих общее им обоим решение . Эту задачу мы и рассмотрим в первом параграфе. Решение мы будем интерпретировать как поверхность (интегральная поверхность).

Система двух совместных уравнений первого порядка. Пусть нам даны два уравнения:

,

(2)


,

где , .

Мы предположим, что в некоторой области изменения переменных , , , , эти уравнения могут быть разрешены относительно и . Напишем результат разрешения в виде:

,

(3)


.

Два уравнения (2) или (3), содержащих только одну искомую функцию , не являются, вообще говоря, совместными, т. е. не имеют общих решений. Выведем необходимое условие совместности системы, написанной в форме (3). Допустим, что существует общее решение обоих уравнений , имеющее непрерывные частные производные первого порядка и непрерывную производную . Подставив это решение в уравнения (3), мы получим тождества. Из этих тождеств можно найти два выражения для второй производной . Из первого уравнения имеем:



или (заменяя , в силу второго уравнения, его значением):



.
Аналогично из второго уравнения (3) находим:

(Мы предполагаем существование и непрерывность частных производных в окрестности начальной точки (х0, у0, z0).) Приравнивая друг другу оба значения второй смешанной производной (ввиду ее непрерывности, результат не зависит от порядка дифференцирования), получаем искомое необходимое условие:



.


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   29




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет