Информационное письмо

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y=f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности. аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [а, b] интерполирующей функцией Р(х) (чаще всего полиномом), а затем полагают:

при

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(x). Если для интерполирующей функции Р(х) известна погрешность

то погрешность производной Р’(х) выражается формулой

т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых


на отрезке [а, b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных f ‘(х) и Р’ (х), т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (см. рис.).




Литература: [13] гл.15 §1-2.