Информационное письмо

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы:

1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.),

2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Формулы Крамера. Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

(1)
Обозначим через

(2)
матрицу из коэффициентов системы (1), через

Если матрица А— неособенная, т. е.

Получим формулы Крамера.

Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

(3)
Пусть а₁₁≠0 (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3) на этот элемент получим:

(4)

Пользуясь уравнением (4), легко исключить из системы (3) неизвестную x₁ Для этого достаточно из второго уравнения системы (3) вычесть уравнение (4), умноженное на а₂₁ из третьего уравнения системы (3) вычесть уравнение (4), умноженное на а₃₁ и т. д. В результате получим систему из трех уравнений

где коэффициенты вычисляются по формуле