Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
Прерываем решение и проводим замену
В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от , теперь осталось выяснить, во что превратится .
Для этого находим дифференциал :
Или, если короче:
Из полученного равенства по правилу пропорции выражаем нужное нам выражение:
Итак:
Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от и можно продолжать решение
Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.
Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
А сейчас два примера для самостоятельного решения:
Пример 12 Найти неопределенный интеграл.
Пример 13 Найти неопределенный интеграл.
Полные решения и ответы в конце урока.
Пример 14 Найти неопределенный интеграл.
Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что же обозначать за , синус или косинус?
Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за другую функцию, но есть:
