Понижение степени подынтегральной функции Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические формулы , и , причем последняя формула чаще используется в обратном направлении: .
Пример 7 Найти неопределенный интеграл.
Решение:
В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу (понизив степень подынтегральной функции). Обратите внимание, что я сократил решение. По мере накопления опыта интеграл от можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем – от .
Пример 8 Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Таки обещанное повышение степени:
Пример 9 Найти неопределенный интеграл.
Сначала решение, потом комментарии:
(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .
(2) Собственно применяем формулу.
(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но, на мой взгляд, так удобнее.
(4) Используем формулу
(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .
(6) Приводим подобные слагаемые (здесь я почленно разделил и выполнил сложение ).
(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.
(8) Причесываем ответ.
