Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
Использование тригонометрических формул
жүктеу/скачать 144,14 Kb.
|
Интегрирование рациональной и тригонометрической функции
- Бұл бет үшін навигация:
- Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- Как вычислить площадь плоской фигуры
| Использование тригонометрических формул
Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Сначала полное решение, потом комментарии. Используем формулу: (1) Мы видим, что в подынтегральном выражении находится произведение двух функций. К сожалению, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования произведения: , поэтому приходится прибегать к различным ухищрениям. В данном случае мы прерываем решение значком и поясняем, что используется тригонометрическая формула. Данная формула превращает произведение в сумму. (2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла. ! Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что: Косинус – это четная функция, то есть , минус исчезает без всяких последствий. В рассматриваемом примере: Синус – функция нечетная: – здесь минус, наоборот – не пропадает, а выносится. (3) Под интегралами у нас сложные функции (косинусы не просто от , а от сложного аргумента). Это простейшие из сложных функций, интегралы от них удобнее найти методом подведения под знак дифференциала. Более подробно с данным приёмом можно ознакомиться на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. (4) Используем табличную формулу , единственное отличие, вместо «икса» у нас сложное выражение. Готово. Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока. Пример 3 Найти неопределенный интеграл. Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно. (1) Используем тригонометрическую формулу (2) Подводим функцию под знак дифференциала. (3) Используем табличный интеграл . Пример 4 Найти неопределенный интеграл. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока. Пример 5 Найти неопределенный интеграл. Степени у нас будут потихоньку повышаться =). Сначала решение: (1) Используем формулу (2) Используем основное тригонометрическое тождество , из которого следует, что . (3) Почленно делим числитель на знаменатель. (4) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. (5) Интегрируем с помощью таблицы. Пример 6 Найти неопределенный интеграл. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока. Также существуют интегралы от тангенсов и котангенсов, которые находятся в более высоких степенях. Интеграл от тангенса в кубе рассмотрен на уроке Как вычислить площадь плоской фигуры? Интегралы от тангенса (котангенса) в четвертой и пятой степенях можно раздобыть на странице Сложные интегралы. жүктеу/скачать 144,14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|