Общий ориентир: за нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».
Мы видим, что в данном примере студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе.
Поэтому проведем замену:
Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 15 Найти неопределенный интеграл.
Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за ?
Вспоминаем наши ориентиры:
1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе;
2) Функция находится в «неудобном положении».
Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.
Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена . В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:
мы резервируем под наш «будущий» дифференциал
А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:
