Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады
§4. Ықтималдықты тікелей есептеуге мысалдар
жүктеу/скачать 0,74 Mb.
|
598d605b-380b-11e3-9dea-f6d299da70eeықтималдық теориясы
| §4. Ықтималдықты тікелей есептеуге мысалдар
1-мысал. Есеп шарты 1,2 мысалында көрсетілгендей. Сынау нәтижесінде екіге еселі нөмірлі жақтың (оқиғаның) пайда болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Жақтың екіге еселі нөмірлері 2,4,6. Бұларға сәйкес оқиғалар А2, А4, А6 . Демек, А оқиғасына қолайлы жағдайлар (оқиғалар) саны m=3 екен. Жалпы жағдайлар саны n=6 екені мәлім. Сонымен, екіге еселі нөмірінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы р(А)=3/6=1/2, немесе 50%. 2-мысал. Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар:а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. а )Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болмағандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей.Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10.А оқиғасына (ақ шардың шығуы) қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек, оның ықтималдығы Р(А)=m/n=3/10=0.30 не 30% болады. Қалғандарын да осылайша анықтаймыз, сонда ә )р(В) =0,5; б) р(С)=0,20. 3-мысал. Абай Құнанбаев тілінің сөздігінде әр түрлі 6000 сөз бар, оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған, 800-і тек екі реттен қолданылған, 490-ы тек үш реттен қолданылған. Қалғандары төрт реттен және одан артық рет қолданған . Ақын сөздігінен кез келген бір сөз алынды. Бұл сөз ақынның: а) тек бір реттен және ә) тек екі реттен, б) тек үш реттен, в) төрт және одан да көп реттен қолданылған сөз қорына тійістілік ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. а) Сынаудың барлық мүмкін нәтижелері (жағдайлар) саны 6000-ға тең. Әр сөздің де алыну мүмкіндігі бірдей, өйткені әрбір сөзді жеке-жеке карточкаға жазып , оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп қарастыруымызға болады. Бұлар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайды.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек, онда бұл оқиға қолайлы жағдайлар саны 2975 болады. Олай болса, ізделінген ықтималдылық р(А)=m/n=2975/6000=0.496 не 49,6% болады. Қалғандарын да осылайша анықтау қыйын емес, сонда ә )0,150 б)0,082 в)0,272 болады. 4-мысал. Монет екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі. Есептің дұрыс шешілуі (әсіресе ықтималдыққа тиісті есептерді) есеп шартын дұрыс талқылауға байланысты. Бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау арқылы көрсетейік. Бірінші жолы: Даламбер талқылауы. Герб жағымен не бірінші лақтырғанда, не екінші лақтырғанда түседі, не тіпті түспейді. Сонымен, барлық жағдайлар саны-үшеу. Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны-екеу. Демек ізделінген ықтималдық. Р(А)=2/3=0.667 не 66.7%болады. Екінші жолы: бірінші монетті бір рет лақтырғанда герб не тиын жағымен түсуі мүмкін. Қай жағымен түссе де, бұл екінші рет лақтырғандағы монеттің герб (Г) не тиын (Т) жағының түсуімен комбинацияланып келеді. Ақырында, төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар: ГТ; ТГ, ГГ; ТТ. Мұнда Г-герб, Т-тиын. Есептің шартын қолайлы жағдайлар саны. 3. Олай болса, ықтималдығы Р(А)=3/4=0.75 не 75% Сонымен, табылған екі ықтималдықтың қайсысы дұрыс, қайсысы қате деген сұрау өзінен өзі туады. Соны анықтайық. Даламбердің қателігі мынада болған: ол ГТ және ТГ жағдайлар жиынын ГГ және ТТ жағдайларымен тең мүмкіндікті деп алған. Шындығында бұлай болмайты екінші талқылаудан байқалады. Сонымен, екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз. 5-мысал. Бірден екі ойын кубы лақтырылды. Олардың әрқайсысының жақтары 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген. Екі куб еденге түскенде үстінде шыққан нөмірінің (ұпайларының) қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең? Шешуі. Алдымен лақтырылған екі ойын кубы нөмірлерінің барлық мүмкін түсу жағдайларын есептейік. Бірінші куб жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы екінші кубтың алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Бұл жағдай 1-таблицада келтірілген. Таблицаның ұяларындағы екі цифрдың біріншісі бірінші куб жағының нөмірін көрсетеді де, екіншісі, екінші куб жағының нөмірін көрсетеді. Ұялар саны 6∙6=36, демек барлық мүмкін жағдайлар саны n=36. Бұл жағдайлар қос-қостан үйлесімсіз, тең мүмкіндікті және оқиғалардың толық тобын құрайды. Енді қойылған сұраққа жауап беру үшін А оқиғасына, яғни нөмірінің қосындысы 7 болатын, қолайлы жағдайлар саны m неге тең болатынын анықтаймыз. Ол үшін таблицадан цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын ұялар (элементарлық оқиғалар) санын табамыз. Олар (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Сонымен, А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=6 екен. Олай болса, іздеген ықтималдық мәні Р(А)=m/n=6/36=1/6 жүктеу/скачать 0,74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|