-Дәріс. Сәйкестік және оның қасиеттері Функциялар мен бейнелеулер

G  AхB Егер (a,b)G болса,G сәйкестігінде b a-ға сәйкес деп айтады. _G={a|(a,b)G, G сәйкестігінің анықталу облысы, ал _G={b|(a,b)G} мәндер жиыны деп аталады.

Анықтама.

Егер А мен В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік болса, онда олардың қуаттары тең және олар тең қуатты жиындар |A|=|B| деп аталады.Бұл фактілер жиынды санамай-ақ,олардың тең қуаттылығын анықтауға болатындығын көрсетеді. Қуаты белгілі немесе оңай санауға болатын басқа жиынмен өзара бір мәнділігін дәлелдеу арқылы жиын элементтерін санамай-ақ оның қуатын анықтауға болады. N натурал сандар жиыны мен тең қуатты жиындар саналымды жиын деп аталады.

R нақты сандар жиынымен тең қуатты сандар континуальды деп аталады.

1- мысал. Айталық , G (x-3)²+(y-2)²≤1 қатынасын қанағат тандыратын барлық (х,у) нақты санды сандар жиыны болсын. G={(x,y)|x,y үшін (x-3)²+(y-2)²≤1} сәйкестігінің графикалық кескіні центрі (3,2) нүктесінде болатын ,радиусы 1-ге тең дөңгелек. Бұл 3.2 суреттегідей G дөңгелегі R мен R арасындағы сәйкестік ( яғни ОХ өсі мен ОУ өстерінің арасындағы сәйкестік).

а) 2, 3, 4 сандарының образы мен прообраздарын табу керек.

Шешуі: 2_G G сәйкестігіндегі образы жалғыз ғана 2_G, 3-ң G сәйкестігіндегі образы [1,3] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны , 4-ң образы 2. G сәйкестігінің мәндер жиыны _G алын ған (2_G ) 2 санының G сәйкестігіндегі прообразы [2,4]_G ; 3_G G сәйкестігіндегі прообразы 3_G. 4_G – G сәйкестігінде прообраздары жоқ

б) 1) [2,3] _G сандарының образы осы [2,4] кесіндідегі барлық образдарының бірігуі, яғни [1,3]_G;

2) Осыған ұқсас [2,4] кесіндісінің G сәйкестігіндегі образы [1,3];

3) [2,3] кесіндісінің прообразы [2,4] ; [2,4]_G прообразы [2,4];

Егер G сәйкестігі нақты сандар жиынында анықталған десек, яғни GRхR онда

1) G – толық анықталмаған себебі ,_GR (_GR)

2) Сюръективті емес себебі , _GR (_GR)

3) Функционалды (бір мәнді) емес, себебі [2,4]=_G үшін (2 мен 4-тен басқа) образдар жалғыз емес.

4) Өзара бір мәнді болудың қажетті шарттары (1,2,3 шарттар) орындалмағандықтан сәйкестік өзара бір мәнді емес.

Егер сәйкестік G [2,4]х[1,3] болса G толық анықталған және сюръективті ,бірақ функционал ды және өзара бір мәнді емес.

Шешуі: Егер G нақты сандар жиынында берілген сәйкестік (GRхR ) болса,онда:

1) G толық анықталмаған сәйкестік, себебі

_G =[2,∞)R;

2) Сюръективті емес, себебі анықталу облысы _G =R₊=[0,∞] нөлмен қоса алғанда барлық нақты сандар жиыны.

3) Функционалды, себебі  x_G, _G – анықталу облысынан алынған

әрбір х-ке бір ғана y_G сәйкес (х-ң бір ғана образы бар).4) Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған және сюръективті емес.

2. G сәйкестігі нөлмен қоса алғандағы R ₊ жиынында яғни G  R₊  R₊ берілген болса, онда G сәйкестігінің төмендегідей қасиеттері болады:толық анықталмаған ,себебі G = [2, ) және G  R₊;

• 
  сюръективті, себебі анықталу облысы G = R₊;
  
• 
  функциональды;
  
• 
  Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған .
  

• 
  в толық анықталған;
  
• 
  сюръективті;
  
• 
  функциональды;
  
• 
  Өзара бір мәнді ,себебі алдыңғы аталған қасиеттерге қоса, анықталу облысынан алынған кез –келген yG үшін бір ғана прообраз бар.