Кездейсоқ оқиғалар Бірінші мысал

Ықтималдықтар теориясы арқылы есептелінген кездесоқ шамалардың сипаттамаларын (кездейсоқ шаманың орта мәні математикалық үміті, дисперсиясы, моменттері мода,медиана,т,с,с, тәжірибе арқылы да жуықтап есептеуге болады. Кездейсоқ шамалардың арасындағы әртүрлі байланысты яғни корреляцияны анықтаудың әдісін математикалық статистика дейді.

Тәжірибе жүргізуші экспериментатор бір шаманы өлшей отырып х₁,х₂,…х_n мәндерін алған болсын дейік. Ол шаманы бақылау, өлшеу шарттары өзгермей қалып, бір тәжірибеде екіншісіне көшу бір-біріне тәуелсіз болсын. Өлшеу нәтижесінде шексіз көп факторлар әсер ететін болғандықтан бақыланған нәтижелер әртүрлі кездейсоқ мәндер қабылдайды. Өлшенетін барлық N бұйымның мәндер жиынтығын бас /генеральная/ жинақ (жиынтық) дейді, ал олардың ішіндегі n мәндер жиыны таңдама құрады х₁,х₂,…х_n таңдамасындағы n саны таңдама көлемі деп аталады.

Егер кестенің бірінші жолында тәжірибенің реті /номері/ ал екінші жолында кездейслқ Х шамасының өлшенген мәні кәрсетілсе ол кестені статистикалық қатар деп атайды.

Егер кестенің бірінші жолында Х кездесоқ шамасының таңдамасы өсу тәртібімен орналасса,ал екінші жолы сол мәндердің неше рет қайталануы немесе оның жиілігін көрсететін болса, онда ондай кестені вариациялық қатар деп атайды. Өлшенетін Х шамасын вариация деп атайды (2.1-кесте).

n_i жиіліктерінің қосындысы тәжірибе санына тең, яғни

(2.1-кесте)

Бұл кесте таңдаманың көлемі n болатын жиіліктің үлестірім көрсетеді.

Салыстармалы жиілік деп жиіліетің таңдама көлеміне қатынасын айтады. Салыстырмалы жиіліктің үлестірімі 3.2-кесте арқылы жазылады. Ондағы

Барлық тәжірибе саны n (таңдама көлемі) ,ал n_х кездейсоқ

шама х-тің х-тен кіші болатын мәндер саны болсын.

Анықтама. Үлестірімнің эмпериалық функциясы мына тендікпен анықталады:

Яғни, үлестірімнің эмперикалық функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.

Х кездейсоқ шамасының үлестірім F^*(x) функциясын ол шаманың теориялық үлестірім функциясы дейді.

Үлестірімнің теориялық F(х) фунуциясы оқиғасының ықтималдығын көрсетсе, үлестірімнің эмперикалық F_n^* (x) функциясы оқиғасының салыстырмалы жиілігін көрсетеді.

Үлестірімнің эмперикалық функциясы тің келесі қасиеттері болады:

1⁰ функциясы 0 мен 1 аралығындағы мәндерді қабылдайды,себебі .

2⁰ -кемімейтін функция, себебі Х артқан сайын n_x мәні кемімейді.

3⁰ Егер Х₁ кездейсоқ Х шамасының ең кіші мәні болса, онда үшін =0, ал х_k ең үлкен мәні болса, онда мәндері үшін =1.

Мысал. Таңдаманың үлестірімі бойынша эмперикалық функцияны табу керек.

Шешуі. Таңдаманың көлемі х вариация 4 6 10

бойынша

1
0,5
0,2

0 4 6 10 х

Бұл мысалдағы эмперикалық функцияның графигі 1-суретте көрсетілген.

Бірнеше топпен олардың жиіліктерінің ара қатынасын құратын статистикалық жинақтың графигі гистограмма деп атайды.

Гистограмманы салу үшін абцисса өсіне берілген топтарға сәйкес интервалдарды орналастырып, ордината өсіне әр интервал ішіндегі өлшенетін шама мәндерінің салыстырмалы жиілігінің интервал ұзындығына қатынасын салады. Сонда гистограмманың ауданы бірге тең болады.

Мысал . Ара қашықтықты есептейтін құралмен 100 рет есептегенде жіберілетін қателердің статистикалық жинағы келесі кесте арқылы берілген

0,26

0,24

0,17 0,13

0,02 0,04

20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 х

Бұл статистикалық жинаққа сәйкес келетін гистограмма 2-суретте көрсетілген. ОХ өсіне топтар орналасып, ал ордината өсіне салыстырмалы жиіліктердің топ ұзындығына қатынастары салынған. Топтар ұзындығы h=5.

Егер гистограмма нүктелерін үздіксіз қисыкпен қоссақ, онда шығатын график Х кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығының жуықталған графигін береді.

2.СТАТИСТИКАЛЫК ҮЛЕСТІРІМНІҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ

теңдігімен анықталатын шамаларды айтады.

Статистикалық жинақ /топ/ арқылы статистикалық орта мен дисперсияны топтардың арифметикалық ортасы бойынша есептейді.

k=1 болғанда бастапқы момент деп отырғанымыз-статистикалық ортаның өзі. k=2 болғанда /7/ формуладан статистикалық дисперсияны аламыз:

Одан статистикалық квадраттық ауытқу

Кейде, статистикалық өндеу мәселелерінде вариация коэффициенті деп аталатын V сипаттамасы енгізіледі де ол келесі формуламен есептеледі.

Егер Х арқылы өлшенетін шаманың барлық мәндерінің статистикалық ортасын, ал арқылы таңдаманың статистикалық ортасын белгілесек, онда

айырымын репрезентативтілік қатесі деп атайды.