Уравнение плоской бегущей волны

9.2. Уравнение плоской бегущей волны 

Уравнением  волны  называется  выражение,  описывающее  зависимость  смещения 



 

колеблющейся частицы от координат 

z

y

x

,

,

 и времени 

t :         

)

;

,

,

(

t

z

y

x







.               (1.9.2) 

Пусть  точки,  расположенные  в  плоскости 

0



x

,  совершают  колебания  по  закону 

t

A

t





cos

)

,

0

(



.  Колебания  частиц  среды  в  точке 

B

  (рис.6.2),  расположенной  на 

расстоянии  x  от источника колебаний  O , будут происходить по тому же закону, но, будут 

отставать по времени от колебаний источника на 





x



  (где 



  -  скорость  распространения 

волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид:           

)

(

cos

)

,

(







x

t

A

t

x





         (1.9.3) 

 

Рис.6.2 

      Так как точка  B  была выбрана произвольно, то уравнение (1.9.3) 

позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в 

колебательный  процесс,  в  любой  момент  времени,  поэтому 

называется уравнением плоской бегущей волны. В общем случае оно 

имеет вид:                

,

)

(

cos

)

,

(

0























x

t

A

t

x

                     (1.9.4) 

где 

A

 – амплитуда волны; 













0

)

(







x

t

 – фаза плоской волны; 



 

– циклическая частота волны; 

0



 – начальная фаза колебаний. 

 

34 

Подставляя  в  уравнение  (1.9.4)  выражения  для  скорости  (

v







)  и  циклической 

частоты (

v





2



), получим:         

.

2

cos

)

,

(

0

























x

t

A

t

x

                                    (1.9.5) 

Если  ввести  волновое  число 



















T

k

2

2

,  то  уравнение  плоской  волны  можно 

записать в виде:                                               

)

cos(

)

,

(

0













kx

t

A

t

x

.                            (1.9.6) 

Скорость 

dt

dx





  в  этих  уравнениях  представляет  собой  скорость  перемещения  фазы 

волны, и ее называют фазовой скоростью. Действительно, пусть в волновом процессе фаза 

постоянна   

const

x

t







0

)

(







.  Для  нахождения  скорости  ее  перемещения  разделим 

выражение для фазы на 



 и продифференцируем по времени. Получим: 

0

1





dx

dt



, откуда 

dt

dx





. 

9.3. Стоячая волна 

Если в среде одновременно распространяется  несколько волн, то выполняется  принцип 

суперпозиции  (наложения):  каждая  волна  ведет  себя  так,  как  будто  другие  волны 

отсутствуют,  а  результирующее  смещение  частиц  среды  в  любой  момент  времени  равно 

геометрической  сумме  смещений,  которые  получают  частицы,  участвуя  в  каждом  из 

слагающих волновых процессов.  

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн 

                 

)

2

(

1

x

t

соs

A













        и             

)

2

(

2

x

t

соs

A













,                        (1.9.7) 

с одинаковыми частотами 



 и амплитудами 

A

, распространяющихся навстречу друг другу 

вдоль  оси  x .  Сложив  эти  уравнения,  получим  уравнение  результирующей  волны, 

называемой стоячей волной      

t

x

A













cos

2

cos

2

2

1







.                                         (1.9.8) 

 

Рис.6.3 

Амплитуда стоячей волны    





x

A

A

ст

2

cos

2



    (1.9.9) 

является периодической функцией координаты  x  и не 

зависит от времени.  

В точках среды, где 







m

x





2

 

,...)

2

,

1

,

0

(



m

, 

амплитуда волны достигает максимального значения 

(

A

A

ст

2



). Эти точки называются пучностями (

П

) 

стоячей волны. Координаты пучностей  

2



m

x

П





.                               

 

Таблица 5.1 

В бегущей волне 

)

2

cos(

x

t

A













 

В стоячей волне 

t

x

A









cos

)

2

cos(

2



 

Амплитуда колебаний 

Все 

точки 

среды 

колеблются 

с 

одинаковыми амплитудами 

A

 

Все точки среды колеблются с разными 

амплитудами 





x

A

A

ст

2

cos

2



 

Фаза колебаний 

 

35 

Фаза  колебаний 

)

2

(

x

t









  зависит  от 

координаты  x  рассматриваемой точки 

Все  точки  между  двумя  узлами  колеблются  в 

одинаковой  фазе 



.  При  переходе  через  узел 

фаза колебаний изменяется на 



. 

Перенос энергии 

Энергия 

колебательного 

движения 

переносится 

в 

направлении 

распространения волны. 

Переноса  энергии  нет,  лишь  в  пределах 

ст



 

происходят взаимные превращения энергии. 

В точках среды, где 







)

2

1

(

2







m

x

 

,...)

2

,

1

,

0

(



m

 амплитуда волны обращается в ноль 

(

0



ст

A

).  Эти  точки  называются  узлами  (

У )  стоячей  волны.  Координаты  узлов 

2

)

2

1

(









m

x

у

. 

Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя соседними пучностями), 

называемое длиной стоячей волны, равно половине длины 



 бегущей волны 

2







ст

. Таким 

образом,  при  сложении  двух  бегущих  волн  образуется  стоячая  волна,  узлы  и  пучности 

которой находятся все время в одних и тех же местах.  

Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.