V. Элементы специальной (частной) теории относительности

 

25 

Экспериментальные  подтверждения  этих  следствий  и  являются    обоснованием  самих 

постулатов - обоснованием теории относительности. 

       Постулаты  Эйнштейна,  приводят  к  выводу  о  том,  что  отсчет  времени  имеет 

относительный  характер,  что  в  различных  системах  времени  течет  неодинаково.  Исследуя 

вопрос  о  преобразованиях,  позволяющих  перейти  от  одной  системы  отсчета  к  другой, 

Эйнштейн  нашел,  что  в  согласии  с  его  постулатами    находятся  так  называемые 

преобразования Лоренца: 

                               

2

2

/

1

c

t

x

x













,    

y

y





,     

z

z





,        

2

2

2

/

1

c

x

c

t

t













.                  (1.5.1) 

                                                         

Следует  отметить,  что  преобразования  Лоренца  при  малых  скоростях,  т.е.  при 

c





 

совпадают  с  преобразованиями  Галилея.  Действительно,  если 

c





  соотношение  (1.5.1) 

преобразуется в выражения. 

                                                

t

x

x









, 

y

y





, 

z

z





, 

t

t





.                                              (1.5.2) 

Следовательно,  преобразования  Галилея  являются  предельным  случаем  преобразований 

Лоренца, имеющим при 

c





. Преобразования Лоренца выражают зависимость координат 

и  времени  в  системах  К



  и  К.  Можно  эти  преобразования  записать  в  такой  форме,  чтобы 

координаты и время системы К были выражены через координаты и время в штрихованной 

системе отсчета. Опуская выкладки, запишем конечный результат 

                         

2

2

/

1

c

t

x

x















,         

y

y





 ,      

z

z





 ,          

2

2

2

/

1

c

x

c

t

t















  .                 (1.5.3) 

                                                      

Элементы релятивисткой динамики 

        Первый 

постулат  Эйнштейна  явился  обобщением  механического  принципа 

относительности.  Применим  его  к  законам  механики.  Зависимость  импульса  от  скорости 

оказывается более сложной, чем это предполагается в ньютоновской механике  

                                                                       

2

2

0

/

1

c

m

p













. 

 

 

 

 

 

2

2

0

/

1

c

m

m







                                            

(1.5.4) 

Эйнштейн  показал,  что  между  этими  двумя  величинами  -  массой  и  энергией  должна 

существовать связь.  

                                                                              

2

mc

E



 .                                                       (1.5.5) 

 

Величина кинетической энергии определяется как разность между энергией движущего тела 

и энергией покоящегося тела 

                                                       



























1

/

1

1

2

2

2

0

2

0

2

c

c

m

c

m

mc

E

k



.                        (1.5.6) 

Лишь в предельном случае 

c





, разлагая в ряд 

                                                           

















2

4

2

2

2

2

3

4

1

2

1

1

/

1

1

c

c

c







 

и пренебрегая членами ряда, более высокими степенями чем два, будем иметь 

                                                             

2

0

2

2

2

0

2

`

1

1

2

1

1





m

c

c

m

E

k





















. 

Как  видно  из  изложенного,  постулаты  Эйнштейна  привели  к  пересмотру    укоренившихся 

представлений  о  независимости  массы  от  скорости,  к  установлению  связи  между  массой  и 

энергией.  

 

26 

6. Элементы механики сплошных сред 

             Рассмотрим  движение  идеальной  жидкости  -  сплошной  среды,  сжимаемостью  и 

вязкостью  которой    можно  пренебречь.  Выделим  в  ней  некоторый  объем,  в  нескольких 

точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени 

t .  Если  картина  векторного  поля  со  временем  остается  неизменной,  то  такое  движение 

жидкости  называется  установившимся.  При  этом  траектории  частиц  представляют  собой 

непрерывные  и  не  пересекающиеся  линии.  Их  называют  линиями  тока,  а  объем  жидкости, 

ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.5.1). 

          Поскольку  частицы  жидкости  не  пересекают  поверхность  такой  трубки,  ее  можно 

рассматривать  как    реальную  трубку  с  неподвижными  для  жидкости  стенками.  Выделим  в 

трубке  тока  произвольные  сечения 

1

S   и 

2

S   перпендикулярные  направлению  скорости 

частиц в сечениях 

1



 и 

2



, соответственно (рис.5.1). 

За малый промежуток времени 

t



 через эти сечения 

протекают объемы жидкости 

         

t

S

V

t

S

V





















2

2

2

1

1

1

,





.          (1.6.1)                                            

Так 

жидкость 

несжимаема 

2

1

V

V







 

и 

2

2

1

1











S

S

.  И  тогда  для  любого  сечения  трубки 

тока имеет место равенство 

              

             

Рис.5.1                                                           

        

const

S







.                                     

 (1.6.2)

 

      Оно  называется  уравнением  неразрывности  струи.  В  соответствии  с  (1.6.2)  там,  где 

сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот. 

Уравнение Бернулли 

              Пусть  рассматриваемые  сечения  трубки  тока  идеальной  жидкости  малы,  так  что 

можно  считать  величины  скорости 



  и  давления 

p

  в  них 

постоянными, т.е. 

1





 и 

1

p , в сечении 

1

S  и 



2



, 

2

p  в 

2

S .  

 При  движении  жидкости за  малый  промежуток  времени 

t



 

сечение 

1

S   ,  переместится  в  положение 



1

S пройдя  путь 

t







1

1





,    а  сечение 

2

S -  в  положение 

1

2

S ,  пройдя 

t









2

2





.  Объем    жидкости,  заключенный  между 

сечениями 

1

1

S и 

2

S   вследствие  уравнения  неразрывности 

будет  равен  объем  жидкости,  заключенному  в  промежутке 

между 

1

S  и 

1

1

S .  Трубка имеет некоторый наклон и центры ее 

сечений 

1

S  и 

2

S  находятся на высотах 

1

h  и 

2

h  над заданным  

Рис. 5.2 

 

 

 

горизонтальным уровнем (рис.5.2).  

 Учитывая  что 

t

S

m











1

1

1





  и 

t

S

m











2

2

2





,  изменение  полной  энергии 

выделенной  массы  жидкости,  расположенной  в  начальный  момент   между  сечениями 

1

S   и 

2

S , может быть представлено в виде 

                               















































1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

gh

m

m

gh

m

m

E

E

E





.                    (1.6.3) 

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено  работой внешних сил. В 

данном случае это  силы давления 

1

1

1

S

p

F



 и 

2

2

2

S

p

F



, действующие, соответственно, на 

сечения 

1

S  и 

2

S , где 

1

p  и 

2

p  соответствующие  давления. Для любого сечения трубки тока 

                                                                        

const

p

gh











2

2

,                                    (1.6.4) 

 

27 

где 



-  плотность  жидкости    Равенство  (1.6.4)  выражает  основной  закон  гидродинамики, 

которое  называется  также  уравнением  Бернулли  по  имени  ученого,  получившего  его 

впервые. 

Давление в потоке жидкости 

Следует  отметить,  что  в  выражении  (1.6.4)  все  слагаемые  имеют  размерность  давления  и 

соответственно  называются: 

2

2

1



-  динамическим, 

gh



-  гидростатическим  или  весовым, 

p

-  статическим  давлением,  а  их  сумма  полным  давлением.  С  учетом  этого  соотношение 

(1.6.4)  можно  выразить  словами:  в  стационарном  течении  идеальной  жидкости  полное 

давление  в  любом  сечении  трубки  тока  (в  пределе-  линии  тока)  -  величина  постоянная,  а 

скорость потока 

                                                                                 

H

g





2



.                                             (1.6.5) 

Истечение жидкости из отверстия 

Пусть  отверстие 

2

S  находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 

5.3). Выделим трубку тока с сечениями 

1

S - на уровне 

1

h  открытой поверхности жидкости в 

сосуде; 

2

S - на уровне отверстия -

2

h . Для них уравнение Бернулли имеет вид 

                                                            

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

p

gh

p

gh



















.                          (1.6.6) 

Здесь 

a

p

p

p





2

1

, где 

a

p - атмосферное давление. Поэтому из 

(1.6.6) имеем  

                               

2

2

2

1

2

1

2

2

gh

gh











                                 (1.6.7) 

   Если 

2

1

S

S



, то 

2

1







 и членом 

2

/

2

2



 можно пренебречь. 

Тогда из (1.6.7) получим 

                                 

)

(

2

2

1

2

2

h

h

g







. 

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна: 

                                     

gH

2





,                                         (1.6.8) 

            Рис. 5.4 

где 

2

1

h

h

H





.  Формула  (1.6.8)  получена  впервые  Торричелли  и  носит  его  имя.  За  малый 

промежуток  времени 

t



из  сосуда  вытекает  объем  жидкости   

t

S

V









2

2



. 

Соответствующая ему масса           

t

S

V

m



















2

2







, где 



- плотность жидкости. 

Она имеет импульс 













2



m

P

. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей 

массе 

m



, т.е. действует силой 

                                                       



















2

2

2







S

t

P

F

. 

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила 









F

F

r

, т.е. 

                                                                        













2

2

2







S

F

r

.                                            (1.6.9) 

Здесь 



r

F -  сила  реакции  текущей  жидкости.  Если  сосуд  находится  на  тележке,  то  он  под 

действием силы 

r

F  придет в  движение, которое  называется реактивным движением. 

 

7. Ламинарное и турбулентное  течения. Вязкость 

      Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же 

слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым. Если внутри 

S

1 

S

2 

 

28 

жидкости  происходит  образование  вихрей  и  интенсивное  перемешивание  слоев,  то  такое 

течение называется турбулентным. 

      Установившееся  (стационарное)  течение идеальной  жидкости  является  ламинарным  при 

любых  скоростях.  В  реальных  жидкостях  между  слоями  возникают  силы  внутреннего 

трения,  т.е.  реальные  жидкости  обладают  вязкостью.  Поэтому,  каждый  из  слоев  тормозит 

движение  соседнего  слоя.  Величина  силы  внутреннего  трения  пропорциональна  площади 

соприкосновения слоев 

S

 и градиенту скорости 

dz

d /



, т.е. 

                                                                               

S

dz

d

F









,                                           (1.7.1) 

где 



- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей 

его  является 

с

Па

c

м

кг







1

1

  (Паскаль-  секунда).  Вязкость  зависит  от  рода  жидкости  и  от 

температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается. 

           Если  сила  внутреннего  трения 

F

  невелика  и  скорость  течения 



  мала,  то  движение 

практически    является  ламинарным.  При  больших  силах  внутреннего  трения  нарушается 

слоистый  характер  течения,  начинается  интенсивное  перемешивание,  т.е.  происходит 

переход  к  турбулентности.  Условия  этого  перехода  при  течении  жидкости  по  трубам 

определяется величиной 

Re

кр

, называемой  числом Рейнольдса 

                                                                          





D

кр



Re

,                                                     (1.7.2) 

где 



-  плотность  жидкости, 



-  средняя  по  сечению  трубы  скорость  течения, 

D

-  диаметр 

трубы.  Опыты  показывают,  что  при 

кр

Re

Re



  течение  ламинарное,  при 

кр

Re

Re



  оно 

становится  турбулентным.  Для  труб  круглого  сечения  радиуса 

r

  число  Рейнольдса 

1000

Re



. Влияние вязкости  приводит к тому, что при 

кр

Re

Re



скорость течения по трубе 

круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется 

формулой Пуазейля 

                                                                  



)

(

8

2

1

2

p

p

r













,                                               (1.7.3) 

где 

r

- радиус трубы, (

2

1

p

p



)- разность давлений на концах трубы, 



- ее длина. 

Влияние  вязкости  обнаруживается  и  при  взаимодействии  потока  с  неподвижным  телом. 

Обычно,  в  соответствии  с  механическим  принципом  относительности,  рассматривается 

обратная задача, Например,  Стоксом  установлено, что при 

1

Re



  на  шар,  движущийся  в 

жидкости, действует сила трения 

                                                                            







r

F 6



,                                        (1.7.8) 

где  r-  радиус  шарика, 



-  скорость  его  движения.  Формула  Стокса  (1.7.8)  в  лабораторном 

практикуме применяется для определения коэффициента вязкости 



 жидкостей. 

 

VIII. Колебания 

Колебаниями  называются  движения  или  процессы,  характеризующиеся  определенной 

повторяемостью во времени. В зависимости от физической природы различают механические 

колебания; электромагнитные, электромеханические и др. 

Свободные  (собственные)  колебания  совершаются  за  счет  первоначально  сообщенной 

энергии,  без  дальнейшего  внешнего  воздействия  на колебательную  систему.  Вынужденные 

колебания  происходят  под  действием  на  систему  внешней  периодически  изменяющейся 

силы. 

8.1. Гармонические колебания и их характеристики 

Колебания  величины  s   называются  гармоническими,  если  эта  величина  изменяется  со 

временем по закону косинуса (синуса) 

)

cos(

)

(

0

0









t

A

t

s

,                                                        (1.8.1) 

 

29 

где 

A

  –  амплитуда  колебаний  (максимальное  смещение  точки  из  положения  равновесия); 

)

(

0

0







t

 – фаза колебания в момент времени  t ; 

0



 – круговая (циклическая) частота; 

0



 – 

начальная фаза колебаний при 

0



t

. 

Первая и вторая производные по времени от величины  s  (1.8.1) 

)

2

(

cos

)

(

sin

0

0

0

0

0

0



























t

A

t

A

t

d

ds

;                               (1.8.2) 

)

cos(

)

cos(

0

0

2

0

0

0

2

0

2

2



























t

A

t

A

t

d

s

d

                                (1.8.3) 

совершают гармонические колебания с той же частотой, что и  s .  

       Последнее уравнение, записанное как        

0

2

0

2

2





s

t

d

s

d



,                                            (1.8.4) 

является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с решением вида (1.8.1).  

жүктеу/скачать 1,17 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: