Лекции и упражнения

2.3. ГРАФИК ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ.
27
y
=
f
(
|
x
|
)
y
=
f
(
x
)
x
y
нием относительно прямой
y
=
x
 см. рис. 9.
Теорема 3. Пусть
X
и
Y
числовые множества и отображение
f
:
X
??
??
Y
имеет обратное. Тогда графики обратных отображений
f
и
f
?
1
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Функция
f
нечјтная тогда и
только тогда, когда
f
?
1
нечјтная,
f
строго возрастает тогда и только
тогда, когда
f
?
1
строго возрастает,
f
строго убывает тогда и только
тогда, когда
f
?
1
строго убывает.
Доказательство.
Точка
A
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
тогда и только тогда, когда
B
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
соглас-
но определению обратного отображения. Точка
C
(
x
0
+
y
0
2
,
y
0
+
c
0
2
)
 середина
отрезка
[
AB
]
.
Пусть
(
·
)
O
(0; 0)
 начало координат. Очевидно
C
?
?
y
=
x
,
y
=
f
?
1
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y
=
x
x
y

28
ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
|
OA
|
=
|
OB
|
=
p
x
2
0
+
y
2
0
.
Тогда если точки
A, B, C
не лежат на одной пря-
мой, то
[
OC
]
есть медиана и высота в равнобедренном треугольнике
AOB.
Значит, точки
A
и
B
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Если же
точки
A
,
B
,
C
лежат на одной прямой, то они либо совпадают, либо все
различны, и тогда из
y
0
=
kx
0
,
x
0
=
ky
0
,
x
0
6
=
y
0
следует, что
k
=
?
1
.
Так
как прямые
y
=
x
и
y
=
?
x
перпендикулярны, то и в этом случае точки
A
и
B
симметричны относительно прямой
y
=
x.
Далее, если
f
нечјтная функция, то
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
??
(
?
x
0
,
?
y
0
)
?
?
f
.
Тогда имеем:
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
??
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
??
(
?
x
0
,
?
y
0
)
?
?
f
??
??
(
?
y
0
,
?
x
0
)
?
?
f
?
1
,
то есть,
(
y
0
, x
0
)
?
?
f
?
1
??
(
?
y
0
,
?
x
0
)
?
?
f
?
1
.
Таким образом,
f
?
1
нечјтная функция. Значит,
f
нечјтная функция
??
f
?
1
нечјтная функция.
Если
f
строго возрастает, то
x
1
< x
2
??
y
1
< y
2
.
Так как
(
y
0
, x
0
)
?
?
?
f
?
1
??
(
x
0
, y
0
)
?
?
f
,
то и
f
?
1
строго возрастает. Значит,
f
строго воз-
растает
??
f
?
1
строго возрастает. Аналогично исследуется случай строго-
го убывания.
2.4 Примеры элементарных функций
.
•
Функция
f
(
x
) =
C
, которая равна всюду некоторому фиксированному
числу называется постоянной или константной функцией. Часто это
факт записывают в форме
f
?
const
. Графиком этой функции будет
горизонтальная прямая.
•
Линейная функция
y
=
kx
+
b
. Ее графиком является наклонная (т.е.
не вертикальная) прямая, причем
b
 точка, в которой график пере-
секает ось
Oy
, а
k
 тангенс угла наклона (т.е. угла между прямой и
осью
Ox
.
•
Квадратичная функция (квадратный трехчлен)
f
(
x
) =
ax
2
+
bx
+
c
,
a
6
= 0
. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены
вверх при
a >
0
и вниз при
a <
0
.
•
Степенная функция
f
(
x
) =
x
n
. При четных степенях график имеет
форму похожую на параболу, при нечетных  на кубическую парабо-
лу.
•
Многочлен
n
-ой степени
P
n
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
?
1
+
. . .
+
a
1
x
+
a
0
, где
a
0
, ..., a
n
 фиксированные числа (
a
n
6
= 0
), которые называют коэф-
фициентами многочлена
P
n
.
•
Обратная функция
f
(
x
) =
k
x
, где
k
6
= 0
 фиксированное число. Ее
графиком является гипербола.

2.4. ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
29
•
Квадратный корень
f
(
x
) =
?
x
 функция, определенная при
x
>
0
.
По определению квадратный корень из
x
(арифметический) есть неот-
рицательное число, квадрат которого равен
x
, т.е.
(
?
x
)
2
=
x
. Графи-
ком этой функции является половина параболы, отраженная относи-
тельно прямой
y
=
x
. Аналогично определяются корни четной степени
f
(
x
) =
2
n
?
x
. Их графики похожи на график
y
=
?
x
•
Кубический корень
f
(
x
) =
3
?
x
 функция, определенная на всей чис-
ловой оси. По определению кубический корень (алгебраический) есть
число, куб которого равен
x
. Графиком является кубическая парабо-
ла, отраженная относительно прямой
y
=
x
. Аналогично определяют-
ся корни других нечетных степеней
f
(
x
) =
2
n
+1
?
x
. Их графики похожи
на график
y
=
3
?
x
Упражнения
Упражнение 33. Перечислить все отображения
{
1
,
3
} ? {
4
,
5
}
, которые
являются а) биекцией; б) инъекцией; в) сюръекцией.
Упражнение 34. Всегда ли выполнено a)
f
?
1
f
(
D
f
)
=
D
f
? b)
f f
?
1
(
E
f
)
=
=
E
f
?
Упражнение 35. a) Пусть
f
(
A
)
?
f
(
B
)
(
A, B
?
D
f
). Следует ли из этого,
что
A
?
B
? b) Пусть
f
?
1
(
A
)
?
f
?
1
(
B
)
(
A, B
?
E
f
). Следует ли из этого,
что
A
?
B
?
Упражнение 36. a) Пусть
?
A
?
D
f
выполнено
f
?
1
f
(
A
)
=
A
. Что можно
сказать про функцию
f
? b) Пусть
?
B
?
E
f
выполнено
f f
?
1
(
B
)
=
B
. Что
можно сказать про функцию
f
?
Упражнение 37. Доказать что для произвольной функции
f
выполнено
a)
f
(
A
?
B
) =
f
(
A
)
?
f
(
B
)
.
b)
f
(
A
?
B
)
?
f
(
A
)
?
f
(
B
)
.
c) Можно ли в пункте ѕbї заменить знак ѕ
?
ї на ѕ
=
ї?
Упражнение 38. a) Доказать что для произвольной функции
f
выполне-
но включение
f
(
A
)
\
f
(
B
)
?
f
(
A
\
B
)
. b) Можно ли заменить знак ѕ
?
ї на
ѕ
=
ї?
Упражнение 39. Пусть
A
?
D
f
и
B
?
E
f
. Доказать, что
f
(
A
)
?
B
=
f
(
A
?
?
f
?
1
(
B
))
.
Упражнение 40. Пусть множество
A
конечно. a) Пусть известно, что
f
:
:
A
?
A
 инъекция. Доказать что
f
 биекция. b) Пусть известно, что
f
:
A
?
A
 сюръекция. Доказать что
f
 биекция.
Упражнение 41. a) Докажите, что композиция функций удовлетворяет
закону ассоциативности, т.е.
F
?
(
G
?
H
) = (
F
?
G
)
?
H.
b) Привести пример
F
: [0; 1]
?
[0; 1]
и
G
: [0; 1]
?
[0; 1]
, для которых не
выполнен закон коммутативности, т.е.
F
?
G
6
=
G
?
F
.

30
ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ.
Упражнение 42. Решить функциональные уравнения: a)
f
(
x
) +
f
(1
?
x
) =
=
x
2
; b)
2
f
(
x
) +
f
(1
/x
) = 2
x
; c)
f
x
+1
x
?
2
+ 2
f
x
?
2
x
+1
=
x
; d)
2
f
(3
?
x
) + 3
f
(
x
?
?
1) = 2
x
?
1
. e)*
2
f
(
x
)
?
f
2
x
+1
x
?
2
=
1
x
?
2
. f)**
f
(
x
) +
f
1
1
?
x
=
x
.
Упражнение 43. Найдите все многочлены степени
n
, удовлетворяющие
тождеству
P
n
(
x
2
)
?
(
P
n
(
x
))
2
.
Упражнение 44. (мех-мат, 2001) Числовая функция при всех
x
?
R
удо-
влетворяет соотношению
x
+
f
(
x
) =
f
(
f
(
x
))
. a) Докажите, что
f
 инъекция.
b) Решите уравнение
f
(
f
(
x
)) = 0
.
Упражнение 45. (ПВГ, 2005) Существуют ли функции
f
и
g
, опреде-
ленные на всей числовой прямой и при каждом
x
?
R
удовлетворяющие
равенствам
f
(
g
(
x
)) =
x
2
и
g
(
f
(
x
)) =
x
3
.
Упражнение 46. Числовая функция удовлетворяет соотношению
f
(
x
+
+
y
) =
f
(
x
) +
f
(
y
) + 80
xy
при всех
x, y
?
R
. Найдите
f
(
4
5
)
, если
f
(
1
4
) = 2
.
Упражнение 47. Найдите все функции
f
:
R
?
R
, удовлетворяющие
неравенству
f
(
x
+
y
) +
f
(
x
+
z
) +
f
(
x
+
t
) +
f
(
y
+
z
)+
+
f
(
y
+
t
) +
f
(
z
+
t
)
>
6
f
(
x
?
3
y
+ 5
z
+ 7
t
)
при всех
x, y, z, t
?
R
.
Упражнение 48. Задана функция
f
, такая, что
f
(
x
+
y
) =
f
(
x
) +
f
(
y
)
при
всех
x, y
?
R
. Известно, что
f
(9) =
?
3
. a) Найдите
f
(
?
3)
. b*) Докажите,
что существует бесконечно много таких функций (т.е. таких, что
f
(
x
+
y
) =
=
f
(
x
) +
f
(
y
)
и
f
(9) =
?
3
).
Упражнение 49. Построить график функции: a)
f
(
x
) =
(
x
2
,
x >
1;
|
x
|
,
x
6
1
;
b)
f
(
x
) =
x
+
|
x
|
; c)
f
(
x
) =
|
x
+ 2
| ?
3
+ 4
; d)
f
(
x
) =
|
x
2
?
1
|
x
?
1
; e)
f
(
x
) =
x
3
+8
x
+2
;
f)
f
(
x
) =
?
x
4
?
8
x
2
+ 16
; g)
f
(
x
) =
?
x
2
?
?
x
4
?
3
?
x
6
; h)
f
(
x
) = [
3
?
x
]
;
i)
f
(
x
) = [
|
x
| ? |
x
?
1
|
]
; j*)
f
(
x
) =
n
1
x
2
+
x
+1
o
.
Упражнение 50. Построить на координатной плоскости множество точек
(
x, y
)
, удовлетворяющих условиям: a)
|
y
|
=
|
x
|
; b)
|
y
|
> x
+ 1
; c)
|
x
+
y
|
6
1
;
d)
|
x
|
+
|
y
|
6
1
; e)
|
y
| ?
y
=
|
x
| ?
x
;
Упражнение 51. Найдите обратные функции к заданным и постройте их
графики: a)
y
=
?
(
x
+ 2)
2
+ 3
,
x
?
(
?
2; +
?
)
; b)
y
=
?
x
2
?
1
,
x
?
[1; +
?
)
;
c)
y
=
x
+2
1
?
x
,
x
?
(1; +
?
)
; d)
y
=
1
1+
x
2
,
x
?
(
??
; 0]
; e)
y
=
x
|
x
|
+ 2
x
,
x
?
R
.
Упражнение 52. Докажите, что график функции
f
(
x
) =
|
k
1
x
+
b
1
|
+
|
k
2
x
+
+
b
2
|
+
. . .
+
|
k
n
x
+
b
n
|
(где
k
i
, b
i
 фиксированные числа) является ломанной.

2.4. ПРИМЕРЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
31
Упражнение 53. Как по графику функции определить, что она является
а) инъекцией? б) биекцией? в) четной? г) периодической?
Упражнение 54. Приведите пример функции, определенной на всей пря-
мой, a) которая принимает положительные значения на
(
?
3;
?
2)
и отри-
цательные значения на промежутках
(
??
;
?
3)
и
(
?
2; +
?
)
. b) ...которая
принимает положительные значения на интервалах
(
?
3;
?
2)
и
(0; 1)
и от-
рицательные значения на промежутках
(
??
;
?
3)
;
(
?
2; 0)
и
(1; +
?
)
.
Упражнение 55. Задана функция
f
, периодическая с периодом
T
= 6
.
При
x
?
[
?
2; 4]
она задается формулой
f
(
x
) =
|
x
?
2
|?
3
. a) Найдите значение
выражения
4
f
(11)
?
2
f
(
?
15)
. b) Постройте график
y
=
f
(
x
)
.
Упражнение 56. Задана функция
f
, четная и периодическая с периодом
T
= 6
. При
x
?
[0; 3]
она задается формулой
f
(
x
) =
x
2
?
2
x
?
2
. a) Постройте
график
y
=
f
(
x
)
. b) Найдите количество нулей функции на отрезке
[
?
5; 4]
.
Упражнение 57. Функция
y
=
f
(
x
)
определена на всей числовой прямой и
является нечетной периодической функцией с периодом
T
= 8
. На отрезке
[0; 4]
функция
y
=
f
(
x
)
задана равенством
f
(
x
) =
x
2
?
4
x.
Определите
количество нулей функции
y
=
f
(
x
)
на отрезке
[
?
2; 5]
.
Упражнение 58. Функция
f
(
x
)
периодическая с периодом, равным 2. На
промежутке
[0; 2)
эта функция совпадает с функцией
=
x
2
?
2
.
Сколько
раз пересекаются графики функций
=
f
(
x
)
и
= 1
на отрезке
[1; 7]
?
Упражнение 59. Периодическая функция
=
f
(
x
)
с периодом
T
= 3
опре-
делена для всех действительных чисел. На отрезке
[1; 7]
уравнение
f
(
x
) = 0
имеет ровно 3 корня. Найдите произведение этих корней.
Упражнение 60. Четная функция
y
=
f
(
x
)
определена на всей числовой
прямой. Для функции
g
(
x
) = 8
,
5 + (
f
(
x
?
9
,
5)
/x
?
9
,
5)
вычислите сумму
g
(9) +
g
(10)
.
Упражнение 61. Докажите, что любая функция, определенная на всей
числовой прямой представима в виде суммы четной и нечетной функции.
Упражнение 62. Известно, что
f
(
x
)
и
g
(
x
)
 нечетные функции, опреде-
ленные на всей числовой прямой. Что можно сказать про функции: a)
f
(
x
)+
+
g
(
x
)
; b)
f
(
x
)
?
g
(
x
)
; c)
f
(
x
)
g
(
x
)
; d)
f
(
x
)
/g
(
x
)
; e)
f
(
g
(
x
))
; f)
f
2
(
x
) +
g
2
(
x
)
?
Упражнение 63. Известно, что
f
(
x
)
 четная, а
g
(
x
)
 нечетная функция,
определенные на всей числовой прямой. Определить тип функции: a)
|
f
(
x
)
|
;
b)
|
g
(
x
)
|
; c)
f
(
?
x
) +
g
(
|
x
|
)
; d)
g
(
?
x
)
; e)
xf
(
x
) +
x
2
g
(
x
)
; f)
g
(
x
|
x
|
)
?
Упражнение 64. Является ли ограниченной сверху/снизу функция на
указанном множестве: a)
x
2
+ 3
x
+ 5
,
x
?
[1; 3]
; b)
1
?
1
?
x
2
,
x
?
(
?
1; 1)
; c)
|
x
+1
|
x
3
+1
,
x
?
R
; d)
x
4
?
2
x
2
+ 3
,
x
?
R
; e)
|
x
| ? |
x
?
1
|
,
x
?
R
; f)
1
3
?
2
?
x
,
x
?
(2
,
+
?
)
;
g)
x
2
+2
x
+3
x
2
+
x
+1
,
x
?
R
.

32

жүктеу/скачать 1,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: