Лекции и упражнения
жүктеу/скачать 1,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Matan Lectures 2013
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ. эры, Йон Тихий рассказал: Высадка на планету Гесиод была очень трудна. Но когда я оказался на поверхности, то пожалел, что решил опуститься: на ней жили чудови- ща, более страшные, чем описанные в древних мифах греков. Навстречу мне вышла делегация из 1000 жителей планеты. У 811 из них был один глаз, как у циклопа Полифема, у 752 вместо волос были змеи, как у Ме- дузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудо- вищ были одноглазы и змееволосы, 356 одноглазы и имели рыбий хвост, 348 змееволосы и с рыбьим хвостом, а 297 одноглазы, змееволосы и с рыбьим хвостом. Старший из них обратился ко мне и сказал... Но члены клуба так и не узнали, что услышал Йон Тихий на планете чу- довищ. Слушавший рассказ путешественника профессор Тарантога мгно- венно произвел в уме какие-то выкладки и воскликнул: Дорогой Йон! Я готов поверить, что на этой планете жили существа с одним глазом, со змеями вместо волос и с рыбьими хвостами. Тебе при- ходилось встречать еще более страшных чудовищ вспомни о курдлях. Но я надеюсь, что законы математики на этой планете не превратились в мифы. Почему профессор Тарантога не поверил Йону Тихому? Упражнение 15. * Антон, Борис и Вера решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один человек, и легкой, если ее решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества легких? Упражнение 16. * Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех Аня, меньше всех Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него дајтся 1 очко, у одного игрока 2 очка, слова, общие у всех трјх игроков, вычјркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех Аня? Упражнение 17. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых боль- ше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей? Упражнение 18. * В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 гвоздик и 10 хризантем, причем, в каж- дой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трјх комнатах и хризантемы, и розы, ровно в четырјх комнатах и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат? Упражнение 19. Сколько существует натуральных чисел, не превосходя- щих 300, которые делятся a) на 3? b) На 5? c) На 15? d) Не делятся ни на 3, ни на 5? Упражнение 20. Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11? 1.3. ПАРАДОКС РАССЕЛА 19 Упражнение 21. * Сколько существует целых чисел от 1 до 1 000 000, которые не являются ни полным квадратом, ни полным кубом, ни четвертой степенью? Упражнение 22. Пол комнаты площадью 6 м 2 покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна 3 м 2 . Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей 1 м 2 . Упражнение 23. * Каждая сторона в треугольнике 4 ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вер- шинами в точках деления (точки A , B , C не могут быть вершинами тре- угольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника 4 ABC ? Упражнение 24. ** В прямоугольнике площади 1 расположено 5 фигур площади 1 2 каждая. Докажите, что найдутся а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3 20 ; б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 1 5 ; в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1 20 . Упражнение 25. Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каж- дый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зелј- ным 70%, третий синим - 65%. Какая часть пола заведомо закрашена всеми тремя красками? Упражнение 26. * Пассажир оставил вещи в автоматической камере хра- нения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее коли- чество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру? Упражнение 27. ** Доказать тождество: | A 1 4 . . . 4 A n | = X i | A i | ? 2 X i,j | A i ? A j | + + 4 X i,j,k | A i ? A j ? A k | ? . . . + ( ? 1) n ? 1 2 n ? 1 | A 1 ? A 2 ? . . . ? A n | аналог формулы включенийисключений для симметрической разности. Упражнение 28. ** Функция Эйлера ? ( n ) определяется как количество натуральных чисел от 1 до n , взаимно простых с n (числа называются вза- имно простыми, если их НОД равен 1). Пусть n = p ? 1 1 . . . p ? s s разложение n на простые сомножители. Докажите равенство ? ( n ) = n 1 ? 1 p 1 · . . . · 1 ? 1 p 1 . Упражнение 29. * Юра, Лјша и Миша коллекционируют марки. Количе- ство Юриных марок, которых нет у Лјши, меньше, чем количество марок, |