| Отрезок, интервал, ограниченное множество. Введем следующие обозначения для подмножеств в .
Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком (с концами ) или сегментом и обозначается так:
, т.е. .
Множество чисел , удовлетворяющих неравенству , называется интервалом (с концами ) или открытым отрезком и обозначается так: , т.е. .
Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам или , обозначаются соответственно и называются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа.
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называются числовыми промежутками или просто промежутками.
Произвольный интервал ( ), содержащий точку мы будем называть окрестностью точки . В частности, интервал называют - окрестностью точки
Часто рассматривают множества, называемые бесконечными интервалами или полуинтервалами: 1) ( ), 2)( ], 3)( ), 4)( ), 5)[ ).
Первые их них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая), остальные состоят их всех чисел, для которых соответственно: 2) , 3) , 4) , 5) .
Если и конечны и , то число называется длиной сегмента или интервала , или полуинтервала .
Пусть есть произвольное множество действительных чисел.
Говорят, что множество ограничено сверху, если (действительное), число такое, что .
Ограничено снизу, если число т такое, что .
Ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. В противном случае, оно называется неограниченным.
Ясно, что множество ограничено, если , так как .
Неограниченное множество можно определить так: множество не ограниченно .
Определение. Пусть числовое множество Х ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество Х R, называется его верхней гранью и обозначается supX (от латинского слова supremum-наибольший).
Если числовое множество Х ограничено снизу , то наибольшее среди всех чисел ограничивающих снизу множество Х R, называется его нижней гранью и обозначается infX (от латинского слова infimum-наименьший).
Пример. Пусть а и b тогда sup(a,b)=b, inf = inf(a,b)=а. Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
Контрольные вопросы.
1.Понятие множества.
2. Символика математической логики.
3. Определение нижней и верхней граней.
Достарыңызбен бөлісу: |
