Сонда функция үзіліссіздігінің анықтамасын былай да айтуға болады: Берілген нүктеде аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның да ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, яғни
функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады. функциясы қандай да бір аралықтың үзіліссіз болуы үшін, ол сол аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болуы керек.
Үзіліссіз функция қасиеттері. функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады және
.
Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады.
Анықтама. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни , функция нүктесінде үзілісті функция деп, ал нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды. Біржақты шектер ұғымын енгізейік.
Айталық және , онда деп жазады, ал осы жағдайдағы шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның оң жақты шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты шектерін біржақты шектер дейді.
Енді үзіліс түрлерін ажыратайық.
Анықтама. Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды. Анықтама. Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады (10б-сурет). Мысал. а) функциясы нүктесінде үзіліссіздікке зертте.
Шешуі.
,
яғни сол жақты шегі –1, ал оң жақты шегі 1, ақырлы сандар, өз-ара тең емес, олай болса нүктесі І-текті үзіліс нүктесі болады (10а-сурет).
б) функциясын үзіліссіздікке зертте.
Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.
,
яғни сол жақты шегі 0, ал оң жақты шегі шексіздік. Олай болса нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады (10б-сурет).
в) функциясын үзіліссіздікке зертте.
Шешуі. Функция аралығында анықталған. нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.
,
яғни сол жақты де, оң жақты шегі де шексіздік. Олай болса нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады (10в-сурет).
