Лекция Кинематика точки и твердого тела

Определение ускорения в полярных координатах

жүктеу/скачать 357,29 Kb. бет 15/25 Дата 07.02.2022 өлшемі 357,29 Kb. #82138 түрі Лекция

Бұл бет үшін навигация:

• Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки

Определение ускорения в полярных координатах Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах r= r(t); φ= φ(t). Декартовы координаты выража­ются через полярные по формулам х= r∙соsφ, у= r∙sinφ. Найдем проекции ar и aφ ускорение a точки на радиальное (r) и трансверсальное (φ) направление (рис.10.1) Для ax и ay имеем выражение ax=arcosφ - aφsinφ, ay=arsinφ + aφcosφ C другой стороны, ax=x=rcosφ – 2rφsinφ – rcosφ ∙φ2 – rsinφ ∙φ, ay=y=rsinφ + 2rφcosφ - rsinφ ∙φ2 + rcosφ ∙φ. Рис.10.1 Таким образом, получим ar=r – rφ2, aφ=2rφ + rφ. Модуль ускорения Обозначая через θ угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определим направление ускорения a точки по формуле Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор  определяют по его проекциям на оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.11). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось Mτ - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью. Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью. Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, прохо­дящей через касательную в точке М и любую точку кривой М1, когда последняя стремится в пределе к совпадению с точкой М. При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются. Рис.11 Было показано, что ускорение точки  лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости Mτn; следовательно, проекция вектора  на бинормаль равна нулю (a=0). Вычислим проекции  , на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t1=t+∆t приходит в положение М1 и имеет скорость v1. Тогда по определению Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ  и Mn, проведенные в точке М (рис.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим: Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М1 оси  , параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора  и касательной Mτчерез ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности ∆φ к длине дуги MM1=∆s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом, Обращаясь теперь к чертежу (рис.11), находим, что проекции векторов  и  на оси Mτ, Mn, будут равны: где v и v1 - численные величины скорости точки в моменты t и t1. Следовательно, Заметим что при ∆t→0 точка М1 неограниченно приближается к М и одновременно Тогда, учитывая, что в пределе  , получим для aτ выражение Правую часть выражения an преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при ∆t→0 равны: Окончательно получаем: Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s noвремени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (ab=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки. Рис.12 Отложим вдоль касатель­ной Mτ и главной нормали Mn векторы и  , чис­ленно равные aτ и an (рис. 12). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая  бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна), а составляющая  может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проек­ции aτ  (см. рис.12, а и б). Вектор ускорения точки   изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих  и  . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю: жүктеу/скачать 357,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу: