Лекция Оқиғалар алгебрасы Бастапқы жалпы шарт, сынау, оқиға. Оқиғаларды класстарға бөлу. Оқиғалар арасындағы байланыстар. Оқиғалар алгебрасы
Оқиғалар арасындағы қатынастар. Оқиғаларға қолданатын
жүктеу/скачать 113,8 Kb.
|
Ықт.1-лек.
| 3.Оқиғалар арасындағы қатынастар. Оқиғаларға қолданатын
амалдар Осы уақытқа дейін оқиғалар арасындағы кейбір қатынастарғана айтылған еді. Ал ықтималдықтар теориясының алдына қойған негізгі мақсатының бірі жеке оқиғалар ықтималдығы бойынша күрделі оқиғалар ықтималдығын анықтау болып табылады. Бұл мәселені айқындау қосу, көбейту және тағыда басқа түрлі амалдар орындауға негізделеді. Бұларды баяндаудан бұрын сол оқиғалар арасындағы негізгі қатынастарды келтіріп, амалдарды орындап және көрнектілігін графикалық түрде көрсетейік. 1. А және В оқиғаларының кем дегенде біреуінің пайда болуын осы оқиғалардың қосындысы деп атайды. Оны АUВ немесе А+В арқылы белгілейміз, мұнда U-біріктіру (қосу) таңбасы. Сонымен, оқиғалардың қосындысы деп не А оқиғасы, не В оқиғасы, не А және В екеуі де пайда болатын оқиғаны ұғамыз. Оқиғаны өзіне-өзін қосқанда сол оқиғаның өзі шығады, яғни АUА=A. Сондай-ақ АUV=A, AUU=U болатынын көру қиын емес. Екі оқиғаның бірігуін (қосындысын) оқиғалардың қалаған санына кеңейтуге болады, яғни A1UA2U…UAnU… (A1+A2+…+An+…), немесе i=1U¥Ai деп жазамыз. Мұны сынау нәтижесінде A1, A2,…,An,… оқиғаларының кем дегенде біреуінің пайда болуы деп ұғамыз. Ал бұл оқиғалар оқиғалардың толық тобын құраса, онда олардың қосындысы ақиқат оқиға болады. Мысалы, оқушының жақсы оқуы А оқиғасы, ал спортшы болуы В оқиғасы болсын. Осы екі оқиғаның қосындысы C=A U B оқушы жақсы оқыса да (А оқиғасы), спортшы болса да (В оқиғасы) немесе ол әрі жақсы оқитын әрі спортшы болса да (А және В оқиғаларының екеуі де) орындалады. А және В оқиғалары қосындысының геометриялық кескінін көрсету үшін кездейсоқ оқиғаны жазықтықтағы фигура ретінде қарастырған қолайлы. Квадрат ішіндегі радиусы кіші дөңгелектегі нүктелер жиыны В оқиғасының пайда болуын кескіндейді, радиуысы үлкен дөңгелектегі нүктелер жиыны А оқиғасының пайда болуын кескіндейді десек, онда АUВ оқиғалар бірігуі екі дөңгелек жасаған облыстағы нүктелер жиынын көрсетеді, мұндағы А және В оқиғаларының екеуіне де жататын нүктелер тек бір рет қана есепке алынады. 2. А және В оқиғаларының бірге пайда болуын олардың көбейтіндісі деп атайды да АВ (яғни А*В) немесе А В арқылы белгілейді, мұндағы -қылысу (көбейту) таңбасы. А*В-ны А мен В-ның бірге пайда болуы деп ұғамыз. Оқиғаны өзіне-өзін көбейтсе, сол оқиғаның өзі шығады, яғни А∩А=А. Сондай-ақ A∩V=V, A∩ U =A. Аталған екі оқиғаның қиылысуын (көбейтіндісін) оқиғалардың кез келген санына кеңейтуге болады, яғни А1 A2 … An … немесе i=1∩¥Аі деп жазамыз. Мұны сынау нәтижесінде осы А1,А2,...,Аn... оқиғаларының барлығының пайда болуы деп ұғамыз. 3.А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны А мен В-ның айырымы деп айтады және оны А-В немесе А \ В ( \ азайту таңбасы арқылы) белгілейміз. 4.Cимметриялы айыру амалы. Симметриялы айыру амалы деп А және В оқиғалар бірігуінен сол оқиғалар қиылысуының айырымынан құралған элементтер жиынын айтамыз: А Å В : = ( А U В) \ ( А ∩ В) = { х | (хÎ А & х Ï В) Ú (х Ï А & х Î В) }. 5. Екі үйлесімсіз А және Ā ( ØА немесе А емес) оқиғалары оқиғалардың толық тобын құраса, оларды қарама-қарсы оқиғалар деп айтамыз. Олардың қосындысы ақиқат оқиға, яғни А U Ā = U, ал көбейтіндісі –мүмкін емес оқиға А∩ Ā = V, сондай-ақ Ū = V , = U болуын байқау қиын емес. Жоғарыдағы сызбаларда А және В оқиғалардың қосындысы(бірігуі), көбейтіндісі(қиылысуы), айырымы, симметриялы айырымы және қарама- қарсы оқиғалардың диаграммалары көрсетілген. 6. Сынау нәтижесінде пайда болған В оқиғасы екінші бір А оқиғасының да пайда болуын қамтамасыз етсе, онда В-ның пайда болуы А-ның пайда болуын ілестіреді деп айтады да мұны ВÌ А (жату, ену таңбасы) арқылы белгілейді. Геометриялық талқылаудан төмендегідей тұжырымдар келіп шығады. А Ì А болады, А Ì В, В Ì С болса, онда А Ì С болады, А Ì B болса, А U В = B және А ∩ В = А болады. Буларға талдау жасауды оқырмандардың өздеріне тапсырамыз. 7.Сынау нәтижесінде пайда болған А оқиғасы В оқиғасыныңда пайда болуын қамтыса ( яғни А Ì В болса) және осы сынауда В оқиғасының пайда болуы А оқиғасының пайда болуын қамтыса (яғни В Ì А болса) , онда А және В оқиғаларды эквивалентті деп айтамызда оны А≡В ретінде белгілейміз. Өзара эквивалентті(тең) оқиғаларды бір-бірімен ауыстыруға болады. Сондықтан кез келген екі эквивалентті оқиғаны тепе-тең немесе тең оқиғалар депте айтамыз. Барлық ақиқат оқиғалар эквивалентті, сондаяқ барлық мүмкін емес оқиғаларда эквивалентті. 8.Қандай да оқиғаларға бірігу ( U ), қиылысу(∩) , ішінде жату(Ì ) және ішіне алу(É) амалдарының қолданылуы дұрыс болса, онда ол оқиғаларды сәйкес қарама-қарсы оқиғалармен ауыстырып қолданғанда амалдар бір-бірімен ауысады, яғни U ∩ ға не ∩ U ға, É Ì ға не Ì É ға айналады. Сол себепті төмендегі қасиеттер орын алады. Егер А Ì В болса, онда É ; егер А É В болса, онда Ì ; егер С = A∩B болса, онда = U ; егер C=AU B болса, онда = ∩ болады. 9.Оқиғалар қосындысының анықтамасы бойынша АU В оқиғасы мен ВUА оқиғасы пара-пар, ал көбейтіндінің анықтамасы бойынша А∩ В мен В∩А пара пар оқиғалар. Бұл жайт оқиғалар саны екіден артық болсада орын алады. Сондықтан , оқиғалардың қосындысы мен көбейтіндісі үшін орын алмастыру заңы орындалады. Сонымен оқиғалар арасындағы қатынастардан пайдаланып , төмендегідей қасиеттерді жазуымызға болады: 1) Идемпотенттік қасиеті. Элементтері бірдей oқиғалардың қосындысы немесе көбейтіндісі өзіне тең: А È А =А, А Ç А = А; 2) Коммутативтілік(ауыстырымдылық) қасиеті. Қосу немесе көбейту амалдарын орындағанда оқиғалардың орны ауысқанымен нәтиже мәні өзгермейді : А È В = В È А, А Ç В = В Ç А; 3) Ассоциативтілік(топталу) қасиеті. А,В,С оқиғалардың қосу немесе көбейту амалдарын біргелікте орындағанда жақшалардың орны ауысқанымен нәтиже мәні өзгермейді: А È ( В È С) = ( А È В) È С, А Ç ( ВÇ С) = ( А Ç В) ÇС; 4) Дистрибутивтік(терімділік) қасиеті: АÈ (В Ç С) = (АÈ В) Ç (А È С) А Ç (ВÈ С) = (А Ç В) È (А Ç С) 5) Жұтылу қасиеті: (АÇ В) È А= А, (АÈ В) Ç А=А, 6) Мүмкін емес оқиға қасиеті: АÈ V = А, А Ç V = V; 7) Ақиқат оқиға қасиеті: А È U = U , А Ç U = А; 8) Екі рет терістік қасиеті: = А; 9) Де Морган заңдары: = Ç , = È ; 10) Толықтыру қасиеті: А È = U, А Ç = V ; 11) Айырым үшін өрнек: А \ В = А Ç Жоғарыдағы келтірілген түрлендірулерді күрделі өрнектерді ықшамдау үшін пайдаланудың мәні зор-ақ. Біздің мақсатымыз–тәжірибенің нәтижелерімен анықталатын құбылыс-тарды сипаттауға ыңғайлы математикалық модельді іздестіру. Бұл мәселе оқиғаны тек сынау нәтижесі деп қарастырумен шешілмейді. Сондықтан оны шешу үшін жиын мен оқиғаны ұштастырады, яғни тәжірибе нәтижелерінен құрылған әрбір жиынды оқиға ретінде қарастырады. Осылай қарастыру нәтижесінде ғана қойылған мақсат шешілетін болып отыр. Сондықтан, іздестіріліп отырған моделімізге жоғарыда келтірілген оқиғалар тобына , оларға қолданылатын бірігі, қиылысу, толықтыру және басқа амалдармен бұлардың қасиеттеріне(заңдарына) құрылған модельді алуға болатынын көреміз. Бұл моделді оқиғалар алгебрасы(өрісі) деп айтамыз. жүктеу/скачать 113,8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|