Математикадан аудандық олимпиада есептерін шешу
жүктеу/скачать 131,06 Kb.
|
Математикадан аудандық олимпиада есептерін шешу жолдары
1-сабақ, Комбинаторика, Анель Таженова, Дип.-Ароматик-аминдер, ÐÐÐ1
- Бұл бет үшін навигация:
- 2-ші шешу әдісі
- ІІ тур 4-есеп. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады Шешуі
| 10 сынып математика
І тур 1. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: {x+y+xy=19 y+z+yz=11 z+x+zx=14 1-ші шешу әдісі: {1+x+y+xy=19+1 1+y+z+yz=11+1 1+z+x+zx=14+1 {(1+x)(1+y)=20 (1+y)(1+z)=12 (1+z)(1+x)=15 Соңғы жүйедегі теңдеулерді өзара көбейтсек: (1+x)2(1+y)2(1+z)2=20∙12∙15 болып (1+x)(1+y)(1+z)=±60 шығады. Осы теңдеуді соңғы жүйенің бірінші теңдеуіне бөлсек 1+z=±3⇒z1=2; z2=-4. Тура осыған ұқсас жолмен x1=4; x2=-6, y1=3; y=-5 шығады. Жауабы: (4;3;2) және (-6;-5;-4) 2-ші шешу әдісі: {x+y+xy=19 y+z+yz=11 z+x+zx=14 {x=19-y1+y y=11-z1+z z=14-x1+x x=19-11-z1+z1+11-z1+z=19+19z-11+z1+z+11-z=20z+812 x=20z+812=20∙14-x1+x+812 12x+12x2=280-20x+8+8x 12x2+24x-288=0 x2+2x-24=0 теңдеуінің шешімі x1=4; x2=-6. z=14-x1+x теңдеуіне x-ті қойып, z1=2; z2=-4. y=11-z1+z теңдеуіне z-ті қойып, y1=3; y=-5. Жауабы: (4;3;2) және (-6;-5;-4) 2. ABCD шаршысының A төбесі және CD қабырғасының ортасы l түзуіне қарағанда симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген бөліктердің аудандарының қатнасын табыңыз. Шешуі: AB=a, BN=x, DM=y деп белгілейміз. AOM=EOM болғандықтан MA=ME=a–y MED тікбұрышты ұшбұрыш сондықтан ME2=MD2+DE2 (a-y)2=y2+(a2)2 a2-2ay+y2=y2+a24 y=38a ANO=ENO болғандықтан AN=EN ABN тікбұрышты ұшбұрыш сондықтан AN2=AB2+BN2 ENC тікбұрышты ұшбұрыш сондықтан EN2=EC2+CN2 AN=EN болғандықтан AB2+BN2=EC2+CN2 a2+x2=(a-x)2+a42 2ax=a42 x=18a ABNM трапецияның ауданы S1=a-y+x2∙a DMNC трапецияның ауданы S2=a-x+y2∙a S1S2=a-y+xa-x+y=a-38a+18aa-18a+38a=610=35 Жауабы: 35. 3. 8n-25n+5 рационал санның кубы болатындай барлық бүтін n санын табыңыз. Рационал санның кубы болу үшін, алымы бүтін санның кубы, ал бөлімі натурал санның кубы болуы керек. Шешуі: 8n-25n+5=m3k3 мұндағы m бүтін сан, k натурал сан. {8n-25=m3 n+5=k3 {8n-25=m3 n+5=k3 {n=m3+258 n=k3-5 k3-5=m3+258 8k3-m3=65 (2k-m)(4k2+2km+m2)=65 65=1∙65=(-1)∙(-65)=5∙13=(-5)∙(-65) болатындай төрт жағдайын қарастырамыз. 1. {2k-m=1 4k2+2km+m2=65 бұл жүйені шешуде 6k2-3k-32=0 теңдеуін аламыз. D=9+768=777 болып, теңдеу бүтін шешімге ие емес. 2. {2k-m=-1 4k2+2km+m2=-65 бұл жүйені шешуде 6k2+3k+33=0 теңдеуін аламыз. D=9-4∙6∙33<0 шешімі жоқ. 3. {2k-m=5 4k2+2km+m2=13 бұл жүйені шешуде 2k2-5k+2=0 теңдеуін аламыз. D=9 k1=2; k2= 12 осыдан m1=-1; m2= -4 шешімін аламыз. Шарт бойынша m бүтін сан, k натурал сан. Сондықтан n=k3-5=23-5=3 4. {2k-m=-5 4k2+2km+m2=-13 бұл жүйені шешуде 6k2+15k+19=0 теңдеуін аламыз. D=225-456<0. Шешімі жоқ. Жауабы: n=3 ІІ тур 4-есеп. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады? Шешуі: 2015 санын көбейткіштерге жіктейміз. 2015=5∙13∙31 2015-тің бөлгіштері сегіз: 1, 5, 13, 31, 5∙13, 5∙31, 13∙31, 5∙13∙31 Егер 2015 санын оның жай көбейткіштерінен басқа кезкелген бір жай санға көбейтсек, мысалы: 3-ке, 2015∙3=3∙5∙13∙31 2015∙3 санының бөлгіштері:1, 3, 5, 13, 31, 35, 313, 331, 513, 531, 1331, 3513, 3531, 51331, 351331 бөлгіштерінің саны 15-ке тең болады. Демек өзінің жай көбейткіштерінен басқа келкелген санға көбейткенде оның бөлгіштерінің саны 12-ден артық болады. Енді 2015 санының жай көбейткіштеріне көбейтсек бөлгіштерінің саны дәл 12-ге тең болады. 2015∙5=5∙5∙13∙31 2015∙5 санының бөлгіштері: 1, 5, 13, 31, 5∙5, 5∙13, 5∙31, 13∙31, 5∙5∙13, 5∙5∙31, 5∙13∙31, 5∙5∙13∙31 саны 12-ге тең болды. Демек, 2015 санының жай көбейткіштерінің біріне көбейтсек ол санның бөлгіштері дәл 12-ге тең болады. Жауабы: 5, 13, 31 5-есеп. f(x)=x4+6x2+1x3+x функциясының (0; +∞) аралығындағы ең кіші мәнін табыңдар. жүктеу/скачать 131,06 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|