3-есеп: 100+99+98+…+2+1<11 теңсіздігін дәлелдеңіз.
Шешуі: Теңсіздіктің сол жағындағы 99, 98, 97, ...2, 1 сандарын одардан үлкен 100 санымен ауыстырамыз, сонда шыққан санды өрнек, бастапқы теңсіздіктің сол жағынан үлкен болады. Соңынан өрнекті шексіздікке дейін жалғастырып, одан да үлкен өрнек аламыз.
100+99+98+…+2+1<
100+100+…+100+100<
100+100+100+100+100+…
Енді соңғы өрнекті
100+100+100+100+100+…=x деп белгілейік және екі жағында квадраттаймыз.
100+100+100+100+100+100+…=x2
100+x=x2
x2-x-100=0теңдеуінің шешімі x1,2=1±1+4002=1±4012 болады.
х оң сан болғандықтан x=1+4012 болып, бұдан (401<441=21) x<1+4412=11 шығады.
Сонда 100+99+98+…+2+1
ІІ тур 4-есеп: Оқушылар емтихан тапсырғанда оларға 3 есеп берілді. Оқушылардың 98 % - бірінші, 90 % - екінші және 85 % - үшінші есепті шығарды. Барлық үш есепті оқушылардың x % шығарды. x - тің ең кіші және ең үлкен мәнін табыңыз.
Шешуі: Бірінші есепті 2%-ы шығармады.
Екінші есепті 10%-ы шығармады.
Үшінші есепті 15%-ы шығармады.
Осы есептерді шығармаған оқушылар әртүрлі болса, онда үш есептің біреуін шығармаған оқушылар 2%+10%+15%=27%
Онда x%=100%-27%=73%
Үшінші есепті шығарғандар ең азы 85%-ы, сол үшінші есепті шығарғандардың барлығы бірінші және екінші есепті шығарған болса, x%=85% болады.
