Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі 2012 – 2013 оқу жылы
жүктеу/скачать 1,33 Mb.
|
Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі 1
| 10 сынып.
І тур Кез – келген натурал саны үшін 2∙3n ≤ 2n + 4n теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңдер. Теңдік қашан орындалады? Шешуі: Математикалық индукция әдісін қолдансақ n=1, 2∙31 = 21 +41, 6 = 6 n = R, 2∙3R ≤ 2R + 4R ақиқат делік, ендеше n = R+1 болғанда 2∙3R+1 ≤ 2 R +1 + 4R+1 дұрыс екенін дәлелдейік 2∙3∙3R ≤ 2∙2R + 4∙4R, 3∙3R ≤ 2R + 2∙4R, 3R + 2∙3R ≤ (2R + 4R) + 4R өйткені 3R < 4R д.к.о.е. 2) Ұлының туған күнін тойлап жатып, әкесі оның атасына былай деп тіл қатты:- Бүгін ұлымның жасы, менің жасым және сіздің жасыңыз-бәрі жай сандар.-Иә, ал бес жылдан соң біздің жастарымыздың бәрі толық квадраттар болады,- деп атасы жауап қайтарды. Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді? Жауабы: бүгін немересі 11-де, әкесі 31-де, атасы 59-да. Бес жылдан соң немересі 16-да, әкесі 36-да, атасы 64-те болады. 3. Сүйірбұрышты АВС үшбұрышының ішінен алынған Р нүктесіне үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелердің бәрі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жатқаны белгілі болса, Р нүктесі үшбұрышының қиылысу нүктесі болатынын дәлелдеңдер. Шешуі: 1) алдымен Р нүктесінің бойында жататын нүктелерді салайық. Шеңбер сызамыз. Шеңбердің бойында жатқан А және В нүктелерін центр етіп алып, радиустары әртүрлі шеңбердің доғаларын сызамыз. (1 – сурет).Бұл доғалардың қиылысу нүктесін Р, ал шеңбермен қиылысу нүктелерін Р1,Р2,Р3 деп белгілейміз. Сонда Р1,Р2,Р3 нүктелері Р нүктесіне үшбұрыштың қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелер және А, Р, Р1, сол сияқты В, Р,Р2 нүктелері сәйкесінше бір түзудің бойында жатады. АР1∩ ВР2 = Р РР3 кесіндісінің ортасы О1 нүктесі арқылы осы кесіндіге перпендикуляр түзу жүргізейік. (2 – сурет). Бұл түзу А және В нүктелерінен өтеді, өйткені РО1 =Р3О1 , сондықтан, АР = АР3 ,ВР = ВР3 (3 – сурет) РО2 = Р1О2 , РО3 = Р2О3 . ВО2 ⊥ РР1 , АО3 ⊥РР2 АО3 ∩ ВО2 = С АО2 ∩ ВО3 = Р. Сонымен, Р3Р ∩РРРРР АО3 ∩ ВО2 = С, демек Р нүктесі үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі. С Р В А
А В
О 1 – сурет 3 – сурет Р А В
жүктеу/скачать 1,33 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|