Анықтама. Егер екі теңсіздіктің /теңдіктің/ біреуінің шешімі екіншісінің де шешімі болса, немесе, керісінше, екіншісінің шешімі біріншісінің де шешімі болса, онда мұндай теңсіздіктерді /теңдеулерді/ мәндес теңсіздіктер /теңдеулер/ деп атайды да, мына түрде жазады:
f1(х1, х2,...,хn) =g1(х1, х2,...,хn)↔f2(х1, х2,...,хn) =g2(х1, х2,...,хn),
f1(х1, х2,...,хn) >g1(х1, х2,...,хn)↔f2(х1, х2,...,хn) >g2(х1, х2,...,хn),
шешімдері беттесетін (бірдей) теңсіздіктер (теңдеулер) мәндес теңсіздіктер (теңдеулер) болады. Шешімдері жоқ болатын теңсіздіктер де /теңдеулер де/ мәндес теңсіздіктер (теңдеулер) деп саналады.
Теңсіздіктерді шешкенде пайдаланылатын теңсіздіктердің мәндестігі жайлы негізгі теоремаларды қарастырайық.
1-теорема. Егер f(х1, х2,...,хn) >g(х1, х2,...,хn) және f(х1, х2,...,хn) +φ(х1, х2,...,хn)>g(х1, х2,...,хn) + φ(х1, х2,...,хn),теңсіздіктерінің анықталу обылысы беттесетін болса, онда бұл теңсіздіктер мәндес теңсіздіктер болады.
Дәлелдеуі. Бірінші теңсіздіктің шешімі екінші теңсіздіктің де шешімі болатындығын дәлелдейік. х1=а1, х2=а2, хn=an бірінші теңсіздіктің шешімі болсын. Сонда f(а1,а2,...,аn)>g(а1,а2,...,аn) – дұрыс сандық теңсіздік. Мұның екі бөлігіне де φ(а1,а2,...,аn) сандық өрнегін қосайық (теорема бойынша анықталу облыстары бірдей).
Сонда f(а1,а2,...,аn)+ φ(а1,а2,...,аn) >g(а1,а2,...,аn)+ φ(а1,а) сандық теңсіздігі орынды. Осы сандық теңсіздікті екінші теңсіздікпен салыстырып, х1=а1·х2=а2, хn=an - екінші теңсіздіктің де шешімі болады деген қорытындыға келеміз. Керісінше, x1=b1,x2=b2,xn=bn- екінші теңсіздіктің шешімі болсын, сонда f(b1,...,bn) +φ(b1,...,bn)>g(b1,...,bn) + φ(b1,...,bn) санды теңсіздігі орынды. Осы теңсіздіктің екі бөлігінен де φ(b1,...,bn) санын азайтсақ, f(b1,...,bn) >g(b1,...,bn) сандық теңсіздігі шығады. Мұны бірінші теңсіздікпен салыстырып, x1=b1,x2=b2,xn=bn – бірінші теңсіздіктің де шешімі болады деген қорытындыға келеміз. Сонымен, бірінші теңсіздіктің шешімі екінші теңсіздіктің де, екінші теңсіздіктің шешімі бірінші теңсіздіктің де шешімі болатыны дәлелденді. Демек, берілген теңсіздіктер мәндес екен.
Салдар. Теңсіздіктің бір жағынан екінші жағына қосылғышты қарама-қарсы таңбасымен көшіргенде оған мәндес теңсіздік шығады:
f1(х1, х2,...,хn) >g(х1, х2,...,хn)↔f(х1, х2,...,хn) - g(х1, х2,...,хn).
2-теорема. Егер f1(х1, х2,...,хn) >g(х1, х2,...,хn) және f(х1, х2,...,хn)φ(х1, х2,...,хn)>g(х1, х2,...,хn)φ(х1, х2,...,хn) теңсіздіктерінің анықталу облыстары бірдей болса және осы анықталу облысында φ(х1, х2,...,хn) >0 болса, онда берілген теңсіздіктер мәндес болады.
Достарыңызбен бөлісу: |
