Өзін-өзі тексеру сұрақтары

1. Ойлау түрлері дегеніміз не?

2. Ұғым дегеніміз НЕ?

4. Ұғымның мазмұнын не құрайды?

5. Ұғымдар қандай тәсілдермен анықталады?

6. Ұғымның көлемі қалай айқындалады?

7. Ұғымның классификациясы дегеніміз не?

§ 2. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ТАЛДАУЛАР

Математикалық талдаулардың негізгі түрлеріне аксиомалар, постулаттар, теоремалар жатады.

Постулат (рostulatum) - талап деген латын сөзінен шыққан. Белгілі бір ұғымға немесе ұғымдардың арасындағы қатынасқа қойылатын талаптар келтірілген сөйлемді постулат деп атайды.

Көбіне постулат кейбір ұғымның немесе ұғымдар жүйесінің анықтамасының бөлігі болады.

Мысалы: «түзулердің паралельдігі» а//в екі постулатпен анықталады.

1) 2)

Әртүрлі математикалық объектілердің қасиеттерін зерттегенде, ақиқаттығын дәлелдеуді қажет ететін сөйлемдер құру қажеттігі туындайды.

Ақиқаттығы дәлелдеу арқылы анықталатын математикалық сөйлем теорема деп аталады. (грек сөзі theorema < theoreo - қарастырамын, ойланамын).

Теоремада біріншіден математикалық объект қандай шартпен қарастырылатындығы көрсетіледі. Бұл теореманың шарты - p. Екіншіден осы объект туралы не қорытылатындығы айтылады. Бұл теореманың қорытындысы – q.

Мысалы: ұшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең. Мұнда теореманың шарты: р - ұшбұрыш; теореманың қорытындысы: q - ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең. Теореманың шарты мен қорытындысын тез ажырату үшін, “егер…”, “онда…”, деген логикалық жалғаулық қолданады.

Мәселен, «егер шеңбердің екі хордасы қиылысса, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі екінші хорданың кесінділерінің көбейтіндісіне тең».

Теореманы жалпы логикалық тілде былай жазуға болады: (pÞq).

Теореманы дәлелдеу үшін, оның шарты орындалады деп алып, қорытындысының ақиқаттығын логикалық жолмен дәлелдейміз.

Егер (p Þ q) теоремасын тура теорема деп алсақ, одан оған

1) кері (q Þ p);

2) қарама - қарсы: ;

3) қарама - қарсыға кері: жаңа теоремалар құруға болады.

Мысалы: 1) Егер төртбұрыш тіктөртбұрыш болса, онда оның диагональдары тең .

2) Егер төртбұрыштың диагональдары тең болса, ол тіктөртбұрыш .

3) Егер төртбұрыш тіктөртбұрыш болмаса, онда оның диагональдары тең болмайды ( ).

4) Егер төртбұрыштың диагональдары тең болмаса, онда ондай төртбұрыш тіктөртбұрыш болмайды ( ).

Осы келтірілген төрт теореманың барлығы ақиқат. Оған дәлелдеп жеңіл көз жеткізуге болады.

Берілген тура теореманың кері, қарама-қарсы, қарама-қарсыға кері теоремалары үнемі ақиқат болмайды. Оған да мысал келтірейік:

1. 
   Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең .
   
2. 
   Егер үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болса, онда үшбұрыш тең бүйірлі .
   
3. 
   Егер үшбұрыш тең бүйірлі болмаса, онда оның табанындағы бұрыштары да тең болмайды .
   
4. 
   Егер үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болмаса, онда үшбұрыш тең бүйірлі болмайды .
   

а) 1 - 4 мысалдардан тура теорема ақиқат болғанымен, оған кері теорема жалған, тең қабырғалы үшбұрыштың да табанындағы бұрыштары тең;

ә) тура теорема ақиқат және оған қарама-қарсы теорема да ақиқат;

б) кері теорема жалған және оған қарама-қарсы теорема да жалған.