§ 1. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҰҒЫМДАР

Математикалық ұғымдар. Біз бір объектіні екінші объектіден, олардың қасиеттері, белгілері, ерекшеліктері арқылы ажыратамыз. Зерттелетін объектілердің өзіне тән жеке қасиеттері және жалпы қасиеттері болады.

Жеке қасиеттері деп ол объектінің басқа объектіден ажыратын қасиеттерді атайды. Мысалы: а) Қазақстандағы ең әсем қала – Алматы. б) бір белгісізді екінші дәрежелі теңдеу – квадраттық теңдеу.

Белгілі бір объектінің жалпы қасиеттері оны басқа объектіден ажырататын да, ажыратпайтын да болуы мүмкін. Егер, бір қасиет сол объектіге ғана тән және онсыз бұл объект анықталмаса, оны елеулі қасиет немесе сол объектінің белгісі деп атайды.

Мысалы, параллелограммның төрт қабырғасы, төрт бұрышы бар, диагоналдары бір нүктеде қиылысады, қарама – қарсы қабырғалары тең, қарама – қарсы қабырғалары параллель, т.б.

Осы қасиеттердің ішінде елеулісі – соңғы қасиет, себебі параллелограммды қарама – қарсы қабырғаларының теңдігі және параллельдігі басқа математикалық объектілерден ажыратады.

Объектілердің қасиеттері адам санасында бейнелену үрдісінде, ойлаудың ерекше түрі – ұғым пайда болады. Сонымен ұғым:

1) зор кәмілдікке жеткен материяның жемісі;

2) материялдық дүниені бейнелейді;

3) ұғынудың жалпы құралы;

4) адамзаттың іс әрекетінің ерекшелігін білдіреді;

5) адам санасында ұғым сөз және символдар арқылы қалыптасады.

Берілген ұғымның барлық елеулі белгілерінің жиынтығы ұғымның мазмұнын құрайды. Берілген ұғым қолданылатын объектілер жиытығын ұғымның көлемі деп атаймыз. «Параллелограмм» ұғымының мазмұнын параллелограммның өзі, ромб, тіктөртбұрыш, квадрат секілді төртбұрыштар жиыны құрайды.

Объекттің белгілерінің жиынтығы – ұғымның мазмұнын құрайтынын осы мысалдан көріп тұрмыз. Ұғымды анықтау үшін жоғарыда аталған белгілердің әрқайсысы қажетті, барлығы жеткілікті. Ұғымның мазмұны оның көлемін анықтайды. Егер параллелограммның диагоналдары өзара перпендикуляр деп мазмұнын кеңейтсек, онда оның көлемі кеміп, тек ромб мен квадрат қалады. Егер параллелограммның екі қарама-қарсы қабырғалалары параллель деп мазмұнын кішірейтсек, онда «параллелограмм» ұғымының көлемі кеңейеді. Аталған төртбұрыштарға трапеция қосылады.

Ұғымның мазмұнын ашу үрдісі оның барлық белгілерін қарастырудан тұрады. Жалпы айтқанда, ұғымның анықтамасы оның қажетті және жеткілікті белгілерінен тұратын сөйлем. Анықтамаға кіретін әрбір белгі – қажетті, ал барлық белгілері – осы ұғымды анықтауға жеткілікті болу керек. Анықтамада ұғымның негізгі мазмұны айқындалуы керек және артық сөз болмауы керек. Жеткілікті белгісін қалдырмау керек. Мысалы, «Екі қарама – қарсы қабырғалары тең және параллель төртбұрыш – параллелограмм». «Қарама – қарсы қабырғалары қос-қостан параллель төртбұрышты параллелограмм деп айтамыз».

«Барлық бұрыштары тік параллелограмм – квадрат». «Барлық бұрыштары тік ромб – квадрат». «Барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тік параллелограмм – квадрат».

Бұл ұғымдар тізбегі бір - бірінен туындап отыр. Яғни, қарастырылған төртбұрыштар бірінен соң бірі тізбектеліп енгізіліп отыр. Олар мынандай қатынаста болады:

Квадрат – ромбының дербес түрі, ромб – параллелограммның дербес түрі, төртбұрыш – көпбұрыштың дербес түрі, көпбұрыш – геометриялық фигураның бір дербес түрі, геометриялық фигура – нүктелер жиыны.

Сонымен біз алғашқы ұғымдар «нүкте» және «жиынға» келдік. Оқыту барысында негізгі анықталмайтын ұғымдарға да тоқталып отыру керек.

Ұғымдар әртүрлі тәсілдермен анықталады. Жақын тегі және түстік ерекшелігі арқылы анықталатын әдісті генетикалық әдіс деп атайды. Мысалы: «ромб - диагоналдары өзара перпендикуляр параллелограмм».

1) Генетикалық әдіс.

Мысалы, шеңбер – жазықтықтағы берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны.

2) Индуктивтік әдіс.

Мысалы, арифметикалық және геометриялық прогрессияларды ; реккуренттік теңдіктен анықтайды.

3) Математикалық ұғымдар абстракция арқылы да анықталады.

Мысалы, натурал сан – эквивалентті ақырлы жиындар класының характеристикасы. Ұғымның көлемінің айқындалуы ұғымның классификациясы деп аталады. Тектік ұғымдар көлемін құрайтын объектілерді түр-түрге ажыратуды жүйелеу (классификациялау) деп түсінеміз. Натурал сандар ұғымының жүйесін төмендегі схема арқылы көрсетуге болады.

2-схема.

1) Ұғымды жүйелеу үрдісінде тұрақты бір шартқа сүйену.

2) Жүйелегенде шыққан ұғымдар бір – бірінен тәуелсіз болу керек. Бұл мысалда жай сандар, құрама сандар жиындарының және бірдің қиылысуы бос жиын.

3) Жүйелегенде шыққан ұғымдар көлемдерінің қосын-дысы алғашқы ұғымның көлеміне тең болу керек.

4) Ұғымды жүйелеу үрдісінде тегі жағынан ең жақын ұғымға көшу керек.

Ұғымдарды анықтау және жүйелеу үрдісінде ұғымдар жүйесі пайда болады.