§ 3. ТЕОРЕМАНЫ ДӘЛЕЛДЕУ ӘДІСТЕРІ

Кейбір теоремалардың оқылуынан немесе оны дәлелдеу үшін сызылған сызбадан оқушыларға теоремада дәлелденетін ой айқын көрініп тұрған сияқтанады да, олардың “Дәлелдемей-ақ белгілі ғой, иесін дәлелдейміз және осы дәлелдеудің керегі не?” дейтіні болады. Мұндай жағдайда оқушыларға логикалық дәлелдеусіз ешбір тұжырымға сенбеуді, әрбір тұжырым тек дәлелденгеннен соң ғана күшіне еніп, ғылыми дәрежеге жететіндігін түсіндіру қажет.

Теореманың ішінде шарты және қорытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қорытындысынан не дәлелдеу керек екенін білуге болады. Теорема “егер” деген сөзбен басталса, “онда” деген сөзге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сөзден аяғына дейінгі – қорытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қорытындысын оқушылар айыра алмайды. Мұндай жағдайда оқушыларға мұғалім көмектесіп үйретуі керек.

Мысалы: «Сыбайлас бұрыштардың қосындысын табыңдар».

Оқушылар транспортирмен бұрыштарды өлшеп, қосындысы болатынын табады да, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы болады» деген теореманы өздері айтады. Бұл көрнекі-белсенділік әдістің бір жақсысы оқушылар өздігінен белсенді жұмыс істейді, есептер шығаруды үйренеді.

Сөйтіп, оқушыларды теоремамен таныстырғанда неғұрлым олар саналы және белсенді қатынасатын болса, соғұрлым теорема және оның ілгерідегі дәлелденуі оларға түсінікті болады.

Теореманы түсіну және дәлелдеу процесінде дұрыс салынған сызбаның маңызы өте зор. Алайда, мұғалімдердің көпшілігі теореманы дәлелдеу процесінде сызбаны пайдаланғанда теореманың шартын қанағаттандыратын көптеген сызбалардың ішінен дербес біреуін ғана қарастырады да одан өзгеріп кетсе оқушылар дағдарысқа ұшырайды. Сондықтан теореманы дәлелдегенде тек «стандарт» сызбаны пайдаланбай, теореманың мазмұнына сәйкес келетін сызбалардың әртүрлі болатынын әрдайым айтып отыру керек.

Кейбір теоремалардың сызбаларының түрлі варианттарын қозғалмалы көрнекі құралмен көрсетуге болады. Теоремаларды дәлелдегенде, оның сызбаларының әр түрлі варианттарын көрсетуге көп уақыт кетеді, бірақ өйткенімен мұғалім алғашқыда сызбаның сондай бірнеше вариантын көрсетіп, одан кейін көрсетпегенімен ауызша айтып, оқушылардың өздеріне тапсырып отырса, кейін теорема сызбасының әр түрлі варианттарын өздері іздейтін болады және сызбаның әр түрлі варианттарында да теореманы дәлелдей алатын болады.

Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дәлелдейтініміз белгілі. Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір-екі теорема алып, олар “бұрынғы” қандай теоремалар арқылы дәлелденетінін схема сызып түсіндірген жөн.

Мұғалім әрбір келесі теореманы дәлелдеу үшін қандай өткен материалдарды қайталап келуді дер кезінде оқушыларға тапсырып отырғаны жөн. Егер тапсырма алдын ала берілмеген болса, онда мұғалім теореманы дәлелдеу процесінің қай жерінде, өтілген қандай материалдың, қалай қолданылып жатқанын, толық түсіндіруі қажет және кейін сол теореманы қайталағанда оқушылардың өткен материалдарды қалай пайдалана білетінін тексеру керек.

Оқушыларға теореманы дәлелдей білуді үйрету үшін мұғалім алғашқы теоремадан бастап төмендегідей жұмыстар жүргізу керек:

а) Оқушыларды өз бетімен жұмыс істеуге үйрету.

ә) Әуелгі кезде оқушылардың интуициясын, өмірде көрген білгендерін, көрнекіліктерді кең түрде пайдаланып, біртіндеп логикалық дәлелдеуді үйрете беру.

б) Теоремалардың өмірде қолданатын орындарын көрсетіп, практикалық жұмыстар жүргізу.

в) Теорема қолданылып шешілетін есептер арқылы оқушыларды пәнге қызықтыру.

Оқушылардың ой желісін үзбей жүйелі түрде баяндап беру тәжірибесі және әрбір айтылған ойын толық дәлелдеп берерліктей дағдысы болмағандықтан теореманы дәлелдеу алғашқы кездері қиынға түседі.

Теореманы дәлелдеу үрдісінде әрбір сөзге мән беру керек.

Теореманы логикалық жолмен дәлелдегенде анализ бен синтез қолданылады.

Теореманы анализ әдісімен дәлелдегенде белгісізден бастап белгіліге қарай көшеміз, мұнда әрбір қадам жасауға толық дәлел келтіріледі және ол сапалы түрде орындалады.

Синтез әдісімен теореманы дәлелдегенде біртіндеп белгіліден белгісізге көшеміз, элементар геометрияда теоремалардың көпшілігі осылайша дәлелденеді.

3.3. Теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісі.

Қарсы жорып дәлелдеу әдісі математикада қолданылады, сондықтан оған VI cыныптан бастап үйрету керек. Бұл әдісті қолданып теорема дәлелдегенде оқушыларға мынандай қиыншылықтар кездеседі:

а) белгілі дәлелдерді пайдалана отырып тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады.

б) көзбе-көз дұрыс емес деп (әсіресе сызба теріс сызылғанда) ұйғарудың қандай қажеттігі бар екендігі де оқушыларға түсініксіз болады. Мысалы, бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр туралы теореманы дәлелдегенде бір мұғалім, сызба жөнінде еш нәрсе айтпай «бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бір Р нүктесінде қиылысады екен дейік»,- деп тақтаға екі перпендикулярды Р нүктесінде қиылыстырып сызған. «Р нүктесінен түзуге неше перпендикуляр түсіріледі?» дегенде кей балалар “төртеу”, кейбіреулері «Р нүктесінен бір де бір перпендикуляр түсірілген жоқ» деп жауап берген. Бұл сызбаның нені кескіндейтінін оқушылардың түсінбейтіндігі.

Істелінетін істің, керісінше, теріс жақтарын байқап қарап, содан кейін қорытынды жасау өмірде де көп кездеседі. Сондықтан мұғалім өмір тәжірибесінен мысалдар келтіруіне болады. Бұл әдістің бір жақсылығы дәлелдегенде қорытындының дұрыс жағымен қатар, оның бірнеше қате жақтарымен танысуға мүмкіншілік болады.

3.4. Теореманы беттестіру тәсілімен дәлелдеу былайша қарағанда оңай сияқтанғанымен бұл тәсілді оқушылар көбінесе дұрыс түсінбейді. Мысалы, беттестіру арқылы үшбұрыштардың теңдігін дәлелдегенде, оқушылар үшбұрыштар беттестірілсе, олардың теңдігі содан келіп шығатынын біліп, беттестіруге тырысудың орнына, олар үшбұрыштар тең болса болғаны өзінен-өзі беттеседі деп түсінеді. Егер дәлелдеу процесінде көрнекі құрал ретінде қағаздан немесе картоннан жасалған тең екі үшбұрышты қолдансақ, онда олар оқушылардың ойлағанындай бірімен бірі беттесе кетеді де беттестіру тәсілінің қыр-сыры оқушыларға байқалмайды. Сондықтан дәлелдегенде көрнекі құрал ретінде тең екі үшбұрыш алмай әр түрлі екі үшбұрыш алып, мынандай жағдайларды қарастырған жөн:

а) Қабырғалары да, бұрыштары да тең емес кез-келген екі үшбұрыш аламыз. Үшбұрыштардың ешбір тең элементтері болмаса да, олардың бір төбелері мен қабырғаларын бірінің үстіне бірі келетіндей етіп беттестіруге болады, бірақ үшбұрыштардың басқа элементтерінің біріне бірінің дәл келмеуі бізге байланысты емес.

б) Егер екі үшбұрыштың біреуінің бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышы, екіншісінің сәйкес бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышына тең болса, онда сол тең бұрыштарды жасайтын сәйкес екінші қабырғалары, тең болмаса да, үшбұрыштарды беттестіргенде бірінің бойына бірі келеді, бірақ үшінші сәйкес төбелері бір-біріне дәл келмейді.

Сөйтіп, үшбұрыштарға беттестіру тәсілін қолданғанда, олардың сәйкес қабырғаларының бірі екіншісінің бойына келуі бұрыштарға, ал олардың төбелерінің біріне-бірінің дәл келуі қабырғалардың ұзындықтарына байланысты екендігін, көрнекі құралдар арқылы оқушыларға жақсы түсіндіру керек.