Дәлелдемесі: Егер болса, онда болады да, бұл сан 19-ға бөлінеді. Айталық енді натурал п саны үшін саны 19-ға бөлінсін. Сонда санының да 19-ға бөлінетіндігін көрсетейік.
Расында да
болатындықтан және сандардың (қосылғыштардың) әрқайсысы 19-ға бөлінетіндіктен, саны 19-ға бөлінеді. Есептің тұжырымы дәлелденді.
2.3. Математикалық индукция әдісін теңбе-тендіктердің дұрыстығын дәлелдеуде қолдану
1-мысал: n-нің кез келген натурал мәндерінде тендігінің орындалатынын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. Егер болса, онда болады. Айталық, саны үшін бұл теңбе-теңдік дұрыс болсын, яғни . Сонда үшін бұл теңбе-теңдіктің дұрыс болатындығын, яғни болатынын көрсетейік. Ол үшін алдыңғы теңбе-теңдіктің дұрыстығын пайдаланамыз:
Демек, қосындысын есептеу формуласы дұрыс екен.
Сонымен, есептің тұжырымы дәлелденді.
2-мысал: Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:
Дәлелдеуі: болғанда, теңдік орындалады.
Айталық, енді бұл теңдік үшін дұрыс болғанда оның үшін дұрыс болатындығын, яғни орындалатыңдығын дәлелдейміз.
Сонымен, жоғарыдағы теңдіктің кез келген натурал сан п үшін дұрыстығы дәлелденді.
2.5. Математикалық индукция әдісін теңсіздіктің
дұрыстығын дәлелдеуде қолдану
болғанда, кез келген натурал п саны үшін мына теңсіздіктің (1) орындалатындығын дәлелдеңдер.
Дәлелдеуі. үшін (1) теңсіздік дұрыс, өйткені . Енді біз (1) теңсіздіктің натурал саны үшін дұрыс деп жорығанда (2) оның саны үшін дұрыс болатындығын, яғни (3) теңсіздігінің орындалатындығын көрсетейік. Ол үшін (2) теңсіздіктің екі жағында -ге көбейтеміз. Сонда болатындықтан,
болады.
Сондықтан математикалық индукция әдісі бойынша (1) теңсіздік кез келген натурал п саны үшін дұрыс болады.
Бұл теңсіздікті Бернулли теңсіздігі деп атайды.
Достарыңызбен бөлісу: |
