§3. Жүгіртпелі толқындар теңдігі.  Фазалық жылдамдықтар

         Жүгіртпелі толқындар дегеніміз кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар. Толқындарда энергияның тасмалдануы сандық тұрғыдан энергия ағынының тығыздық векторымен сипатталады. Серпімді толқындар үшін бұл вектор ортадағы қуат қозғалысы жайлы мәселені шешкен орыс ғалымы Н.А. Умовтың (1846-1915) есімімен Умов векторы деп аталды. Умов векторының бағыты энергия тасымалдау бығытымен сәйкес келеді, ал оның модулі толқындардың таралу бағытына перпендикуляр орналасқан бірлік алаңша ішінде уақыт бірлігінде толқынмен тасымалданатын энергияға тең.

         Жүгіртпелі толқынның теңдігіне – координатпен уақытқа тербелуші бөлшектердің араласу тәуелділігіне қорытындылау (тұжырымдау) үшін толқынның  таралу бағытымен х өсі сай келетін, гармониялық сипаттағы тербеліс деп уйғара отырып, тегіс толқынды қарастырамыз (1 – сурет). Бұл жағдайда толқындық беттің барлық нүктелері бірдей тербеледі, ал араласу тек х және t – ға тәуелді болады, (x,t).

         1 – суретте х қашықтықта тербеліс көзінен 0 орналасқан В ортаның кейбір бөлшектерін қарастырайық. Егер х  0 тегістігінде (жазықтығында) жатқан нүктелер тербелісі (0, t) Аcos t функциясымен жазылса, онда, В орта бөлшегі сол заңмен тербелетін болады, бірақ оның тербелісі  тербеліс кезінен уақыт бойынша қалып қоя отырып, х қашықтығынан толқын өтуі үшін х/ қажет болады,  мұндағы  - толқынның таралу жылдамдығы. Сонда х жазықтығында жатқан бөлшектердің тербеліс теңдігі мына түрде болады:

   (x,t)=Acos (t – x/)                                     (3.1)

бұдан шығатыны, (x,t) тек уақыттың периодтық функциясы ғана емес, сонымен бірге х координатының периодтық функциясы екендігі келіп шығады. (2.1) теңдігі жүгіртпелі толқын теңдігі болып табылады. Егер толқын қарама – қарсы бағытта таралар болса, онда

(x,t)=Acos (t + x/)

         Энргияны жұтпайтын ортада х өсінің оң бағыты бойымен таралушы теріс толқын теңдігі жалпы жағдайда мына түрде болады:

   (x,t)=Acos  (t – x/)+₀                                   (3.2)

мұндағы A=const –толқын амплитудасы,  - толқынның цикілдік жиілігі,  ₀ – х және t есептеу басталғандағы таңдаудың жалпы жағдайымен анықталатын тербелістердің бастапқы фазасы,  (t – x/)+⁰ - тегіс толқын фазасы.

(3.3) есепке ала отырып (3.2) мына түрге келтіруге болады:

 (x,t)=A cos (t – kx + ₀)                                (3.4)

х өсінің теріс бағыты бойымен таралушы толқындар теңдігі (3.4) – тен тек kx мүшесі белгісімен ерекшеленеді.

         Эйлер формуласына  негіздей отырып, тегіс толқын теңдігін мына түрде жазуға болады:

 (x,t) = A_e i( t – k x +₀)

мұндағы физикалық мән тек шынайы бөлікке  ие.

         Толқындық процес кезінде фаза тұрақты деп алайық,

 (t – x/) +₀ = const                                      (3.5)

         Ізінше толқындық фазалардың араласу жылдамдығы секілді (3.6) теңдіктегі толқындардың таралу жылдамдығы  жүріп, ол фазалық жылдамдық деп аталады.

мұндағы r – толқын ортасынан қарастырылатын орта нүктесіне дейінгі арақашықтық. Энергияны жұтпайтын ортадағы сфералық толқындар жағдайында тербеліс амплитудасы тұрақты болмай, 1/r заңы бойынша қашықтықпен кемиді. (3.7) Теңдігі тек тербеліс көзінің мөлшерін едәір жоғарылататын r үшін ғана әділ (сонда тербеліс көзін нүктелік деп есептеуге болады).

         (3.3) мәнінен фазалық жылдамдықтың мынаған тең екендігі келіп шығады:

  / R                                                (3.8)

Егер ортадағы толқынның фазалық жылдамдығы оның жиілігіне тәуелді болса, онда құбылыс толқын дисперциясы деп, ал толқындар дисперциясы жүретін орта дисперстеуші орта деп аталады.

         Жалпы жағдайда біртекті изотропты ортадағы толқындардың таралуы толқындық теңдікпен жазылады:

немесе

 

теңдігі болып табылады. Х өсі бойымен таралатын жазық толқын үшін толқындық теңдік мына түрде болады: