Мәтіндік есептердің мазмұны және оны шешу жолдары

Мектеп оқулықтарында мәтін есептерді шығаруға әдістемелік нұсқау жоқ десек те болады, көбінесе оқулықта бір немесе екі ғана шартпен берілетін қарапайым мәтін есептер үнемі қайталанып отырады. Осының әсерінен математиканың алдында тұрған негізгі талап – оқушылардың логикалық ойлау қабілеттерін дамыту, сонымен қатар математика пәнінде күнделікті өмірде кездесетін есептерді шығаруға үйрету, математикалық модель құра білу мәселелері назардан тыс қалуы мүмкін. Мәтін есептерді тура талқылауды керек ететін арифметикалық тәсілдерді қолдана отырып шығарудың оқушылардың логикасын дамытуда берері зор және арифметикалық тәсілді жақсы меңгерген оқушы мәтін есептерге жылдам, әрі дұрыс теңдеу құра алатыны сөзсіз. Мектеп оқулықтарында бастауыш сыныптардан кейін арифметикалық тәсілге онша көп көңіл бөлінбейді, көбінесе алгебралық тәсілдермен, яғни теңдеулер немесе теңдеулер жүйесін құру арқылы мәтін есептер шығарылады.

Осыларды ескере отырып, мынадай мәліметтер ұсынуға болады:

1) мәтін есептерді шығаруға үйретуде көңіл бөлуге тиісті жайттар;

2) мәтін есептерді шығарудың бірнеше тәсілдері мен оларға әдістемелік нұсқаулар;

3) мәтін есептердің қазақша аудармасы.

Мәтін есептерді шығартып үйрету барысында оқушылардың деңгейлері анықталуы тиіс және соның нәтижесін ескере отырып, мәтін есептерді шығаруда қиыншылыққа кездесетін оқушыларға қарапайым жеңіл есептерді шығартудан бастаған дұрыс. Есептің мағынасын, есепте берілген іс-әрекеттерді толығымен түсінуге, есептің шартын жазуға оқушыларды қалыптастыру керек. Содан кейін шығару тәсілдерін бекіткен дұрыс болады. Оқушылар қарапайым есептерді жақсы түсінгендіктен, олардың игерген білімдері білмейтін материалдарды игеруге жетектейді. Сонымен қатар математика пәнінен алынған білімді өмірде жиі қолдануға тура келетіндіктен, оқушыларға өмірмен байланысты есептерді шығаруға беруді ескерген жөн, бұл оқушылардың танымдылығы мен қызығушылығын арттыруға ықпал етеді. «Есепті жеңу - ой жеңісі, жігерлік жеңісі» болып табылады. Оқушыға нұсқау жасауда, мұғалім ең төменгі деңгейде нұсқау жасағаны дұрыс болар еді. Мұғалім мен оқушы арасындағы қарым-қатынас «өзім жасауға көмектесіңіз» түрінде болуы керек. Қиындатылған есептер шығарылмаса, онда сыныптың потенциалын жоғалтып алуымыз мүмкін.

Мәтін есептерді шығару барысында есептер әр түрлі болып көрінгенімен көптеген есептерді бір жүйеге жатқызуға болады, яғни ол есептерді шығаруда ортақ тәсіл қолданылады.

Мәтіндік есептерді шығару көптеген оқушыларда қиындық туғызады. Мәтіндік есептерді шығарудың универсал (әмбебап) тәсілдері жоқ, бірақ, мұндай есептерді шешкенде төмендегі келтірілген схеманы пайдалануға болады:

1 Белгісізді таңдап алу.

Көптеген жағдайларда есептің шартында берілген анықталуға тиісті шаманы белгілеген тиімді. Сондықтан мұндай нұсқаны бірінші кезекте қарастыру керек, бірақ бұл ереже қатал емес, кейде есептің шартына енетін басқа шамаларды қатыстыру арқылы теңдеу құрған тиімді. Негізгі мәселе белгісіздердің санын анықтау болып табылады: белгісіздердің саны неғұрлым көп болса, соғұрлым теңдеуді (немесе теңсіздікті) оңай құруға болады, бірақ мұнда есепті шешудің өзі қиындай түседі: егер қандай да бір шама бұрын белгіленген шама арқылы оңай өрнектелетін болса, онда жаңа айнымалы шамаларды енгізудің қажеті жоқ.

2 Теңдеу (кейде теңсіздікті) құру қажет. Теңдеулер жүйесін құрғанда есептің шартын толық пайдаланған (шамалардың өзін емес, олардың арасындағы арақатысты анықтау қажет болмаған жағдайда) маңызды. Сонда теңдеулердің саны ондағы белгісіздердің санымен бірдей болуы керек.

3 Қажетті белгісізді немесе қажетті белгісіздердің комбинациясын анықтау керек. Егер есепті шешу барысында кейбір түбірлерді алып тастау қажет болса, оны есептің шартына сәйкес орындау қажет. Сонымен, теңдеу құрып мәтіндік есептерді шешу мынадай жүйемен жүзеге асырылады:

1) айнымалылар енгізіледі, яғни ізделінді белгісіз шамаларды х, у, z, ... деп белгілейді;

2) енгізілген айнымалыларды, сондай-ақ есептің шартында берілген сандар мен олардың арасындағы арақатысқа сүйеніп, теңдеу немесе олардың жүйесін құрады;

3) осы теңдеуді (немесе олардың жүйелерін) шешеді;

4) табылған шешімдердің ішінен есептің шартына сәйкес келетінін (іріктеп) таңдап алады.

Қазіргі кезде емтихандарда көптеген мәтіндік есептер ұсынылуда. Ең бастысы, мұндай есептердің түрін біріктіретін нәрсе, есептің шарты формуласыз және белгісіздер әріпсіз белгіленеді, ал есептің шарты кейбір мәтін түрінде тұжырымдалады.

Мәтіндік есептерді іскерлікпен шешу оқушылардың дағдысына байланысты анықталады. Көптеген оқушылардың кез келген мәтіндік есептерді теңдеу құруға берілген есептер деп қарастыру оларды адасушылыққа әкеліп соқтырады. Оқушылар психологиялық тұрғыдан алып қарағанда оған дайын емес, өйткені есепті шешу үшін тек теңдеу құру жеткіліксіз немесе оларды теңдеусіз шешуге болады.

Мәтiндiк есептердi шығару оқушылардың ойлау қабiлетiн дамытуға, функционалдық тәуелдiлiктiң идеяларын терең түсiнуге, есептеу мәдениетiнiң артуына қолайлы жағдай жасайды. Мұндай есептердi шығару нәтижесiнде оқушылардың нақтылы объектiлер мен құбылыстарды модельдеу бiлiгi мен дағдылары қалыптасады.

5-9 сынып математика курсында мәтiндiк есептердi шығарудың негiзгi екi тәсiлi қарастырылады: арифметикалық және алгебралық. Арифметикалық тәсiл iзделiндi шаманың мәндерiн тiкелей сандық өрнек (сандық формула) құрып, нәтиженi есептеу арқылы анықтайды. Алгебралық тәсiл есептi шығару үшiн құрылатын теңдеулер мен олардың жүйелерiн қолдануға негiзделген.

Теңдеу құруға берiлген есептердi шығару мектепте алгебра курсындағы негiзгi мәселелердiң бiрi болып саналады. Оқушылар бiр белгiсiзi бар бiрiншi дәрежелi теңдеулердi шешудiң техникасын оңай игередi, бiрақ есеп шығару, оның iшiнде есептi теңдеу құру арқылы шығару оқушыларға қиын тиетiндiгi тәжiрибеден белгiлi. Мұның негiзгi себебi мынада сияқты.

Оқушылар бастауыш сыныптарда есептегi шамалардың арасындағы тәуелдiлiктi аңғаруға, оларды пайдаланып есеп шығаруға жөндi дағдыланбайды. Сондықтан жоғары сыныптарда есептiң шартын жете түсiнiп, талдай алмайды.

Бағдарлама бойынша оқушылар теңдеу құруға берiлген есептердi 5-сыныптан бастап шығаруы тиiс. Бiрақ мектеп тәжiрибесiне қарағанда оқушылар теңдеуге берiлген мысалдарды шығарғанымен, мәтiндiк есептердi аз шығарады, тiптi кейбiр мұғалiмдер мәтiндiк есеп шығаруға жөндi көңiл бөлмейдi.

Озат мұғалiмдердiң тәжiрибелерi теңдеу құруға берiлген есептердi шығару процесi мына кезеңдерге бөлiнетiнiн көрсетедi:

1. 
   Есептiң шартын талдау.
   

3 Теңдеу құру.

4. 
   Теңдеудi шешу.
   

6 Есептi тексеру.

7 Есептiң жауабын жазу.

Теңдеу құруға берiлген есептердi шығару процесiнiң көрсетiлген осы кезеңдерiнiң әрқайсысына оқушыларды үйрету мақсатымен жүргiзiлетiн түрлi жаттығу жұмыстары болады.

Ендi есептi теңдеу құру арқылы шығарудың әрбiр кезеңiне және онда жүргiзiлетiн жаттығу жұмыстарына тоқталып өтейiк.

1 Есептiң шартын талдау. Оқушыларды теңдеу құрып есеп шығара бiлуге үйрету әдiстемесiндегi негiзгi мәселе – оларды есептiң шартын талдай бiлуге, есепте айтылып отырған шамаларды айыра бiлуге, шамалардың арасындағы тәуелдiлiктi аңғара бiлуге үйрету болып табылады. Есептiң шартына толық түсiнбейiнше, оны көз алдына елестетпейiнше есептi шығару мүмкiн емес.

2 Оқушылардың көпшiлiгi, есептегi берiлген шамаларды айыра бiлмейдi, шамаларды “көрмейдi”. Ондай оқушылардың есеп шығару жөнiнде бiлiмi үстiрт, формальдi болады.

Сондықтан, оқытушының алдында тұрған негiзгi мақсат – көптеген жаттығулар арқылы оқушыларды есепте қандай шамалар туралы айтылып тұрғанын тез айыра бiлуге үйрету. Оқушылар, әдетте, мұғалiмнiң талабына тез үйренiп, есептiң мазмұнын оқығанда бар зейiнiн шамаларды тез табуға, тезiрек “көруге” салады.

Түсiнiктi болу үшiн мысал келтiрейiк.

1-есеп. “Егiс жоспар бойынша 14 күнде орындалуға тиiс едi. Өндiрiстiк ұжым егiс нормасын күнiне 20 га арттырып, егiстi он күн iшiнде бiтiрдi. Өндiрiстiк ұжым күн сайын неше гектар жер ектi және барлық еккен жерi неше гектар едi?”

Оқушылар есептiң мазмұнын пайымдап оқып шыққаннан кейiн, мынадай сұрақтарға жауап бере алатын болулары керек:

1 Есепте қандай шамалар туралы айтылған? (Есепте күнiне орындалатын егiстiң нормасы туралы, өндiрiстiк ұжымның барлық еккен жерiнiң ауданы және егiстiң аяқталған мерзiмi туралы айтылған).

2 Осы шамалардың қайсысы өзгередi, қайсысы өзгермейдi? (Бұл есептiң шартына күнiне орындалатын егiстiң нормасы өзгеруiне байланысты егiстi бiтiру мерзiмi – уақыты өзгередi де, ал егiстiң жалпы ауданы өзгермейдi).

3 Есепте қандай шамалардың сан мәндерi белгiлi, ал қандай шамалардың сан мәндерi белгiсiз? Бiзге мынадай мәлiметтер белгiлi: 14 күн – жоспар бойынша егiстiң орындалуына жұмсалатын уақыт және 10 күн - егiстiң орындалуына жұмсалған уақыт; 20 га - нақтылы орындалған күндiк норма мен жоспардағы күндiк норманың айырмасы. Мұнда үш шаманың сан мәнi белгiсiз: егiстiң жоспар бойынша күнiне орындалуыға тиiс нормасы мен нақты орындағаны және егiстiң жалпы ауданы.

Оқушылар бұл сұрақтарға бiрден жауап беруге қиналатыны сөзсiз. Сондықтан мұндай есептердi шығарудан бұрын арнаулы жаттығулар жүргiзу қажет. Олардың сипаты мынадай болғаны дұрыс:

1 Есептер жинағында жиi кездесетiн шамаларды үнемi қайталап отыру.

2 Екi шаманы атап, олар арқылы қай амалды қолданып, қандай үшiншi шаманы табуға болатынын анықтау.

Мысалы,

ә) дененiң жүрген жолы және уақыты;

б) барлық iстелген жұмыс және уақыт;

в) дөңгелек шеңберiнiң ұзындығы және айналу саны;

г) дененiң меншiктi салмағы және оның көлемi;

д) жалпы өнiм және бiр гектардан шыққан өнiм т.с.с.

Оқушылар соңғы сұраққа былай жауап беруi керек: “Осы екi шама арқылы бiз барлық егiлген жердiң ауданын табамыз. Ол бөлу амалымен табылады.”

3 Бiр шаманы атап, осы шаманы қандай басқа бiр екi шама арқылы табуға болатынын анықтау. Мысалы:

а) тауардың бағасын анықтау үшiн қандай екi шама белгiлi болуы керек?

ә) дененiң, қозғалыс жылдамдығын анықтау үшiн ше?

б) бiр гектар жерден алынған өнiмдi анықтау үшiн ше?

в) барлық iстелген жұмысты табу үшiн ше?

г) дөңгелектiң шеңберiнiң ұзындығын табу үшiн ше?

д) дененiң меншiктi салмағын табу үшiн ше? т.с.с.

Мысалы, оқушылар бiрiншi сұраққа былай деп жауап беруi керек: тауардың бағасын анықтау үшiн тауардың мөлшерiн және оның жалпы құнын бiлу керек.

4 Белгiсiз шамалардың қайсысын х әрпi арқылы белгiлеу керек екенiн анықтау және басқа белгiсiз шамаларды есептiң шартындағы белгiлi шамалармен белгiсiз шама арқылы өрнектеу. Белгiсiз шаманы әрiп арқылы белгiлеуде, яғни белгiсiз шама деп қай шаманы алу керектiгiн анықтауда мынадай үш жағдайдың бiрi кездеседi:

а) белгiсiз шамаға есептiң шарты бойынша iзделетiн шама (есептiң сұрағындағы шама) алынады;

ә) белгiсiз шамаға есептiң шарты бойынша iзделетiн бiрнеше белгiсiз шамалардың бiреуi (есептiң сұрақтарының бiреуi) алынады;

б) белгiсiз шамаға есептiң сұрағында жоқ басқа бiр шама алынады.

Теңдеу құруға берiлген есептердi шығарудың екiншi кезеңiн оқушылар жақсы меңгеру үшiн әуелi төмендегi жаттығулар жүргiзiп алған дұрыс.

1 Санды бiрнеше бiрлiктерге арттыру немесе кемiту.

а) 18 санын 6, 8, 15, 20, 35 бiрлiктерге, сондай-ақ m санын a,b,c бiрлiктерге арттырып жазыңдар;

ә) 65 санын 16, 23, 48 бiрлiктерге, сондай-ақ n санын l, k бiрлiктерге кемiтiп жазыңдар.

Мұндағы .

б) 1-сыныпта х оқушы бар, 2-сыныпта бұдан 4 оқушы артық (кем). 2-сыныпта қанша оқушы бар екенiн қалай табуға болады?

в) Жұмысшы жоспар бойынша бiр күнде а деталь жасап шығаруға тиiс едi. Бiрақ ол бұдан 12 деталь артық (кем) жасады. Жұмысшының бiр күнде қанша деталь жасағанын қалай жазып көрсетуге болады?

г) Дүкен бiрiншi күнi у кг қант сатты, екiншi күнi бұдан 45 кг кем сатты, ал үшiншi күнi алғашқы екi күнде қанша қант сатылған болса, сонша қант сатылды. Екiншi күнi қанша қант сатылғанын қалай табуға болады? Сондай-ақ үшiншi күнi қанша қант сатылғанын және үш күнде қанша қант сатылғанын ше?

2 Санды бiрнеше есе арттыру немесе кемiту.

а) 80 санын 4 есе, 5 есе, 10 есе, сондай-ақ m санын b есе арттырыңдар (кемiтiңдер);

ә) Бiрiншi элеваторда 7 т астық бар, екiншi элеватордағы астық бұдан 3 есе (7 есе, 12 есе) артық (кем). Осыған қандай сұрақ қойып, оны қалай жазуға болады?

3 Мынадай жаттығуларды жүргiзу де өте пайдалы.

а) Бiр мектепте х оқушы бар, ал екiншi мектептегi оқушылар саны бiрiншi мектептегi оқушылар санының бөлiгiне тең. Екiншi мектепте қанша оқушы бар екенiн қалай жазу керек? Егер екiншi мектептегi оқушылар саны бiрiншi мектептегi оқушылар санының бөлiгiне тең болса ше? Бұл екi сұрақтың жауаптарында қандай айырмашылық болуға тиiс?

ә) х теңге тұратын сағаттың бағасы 20%-ке кемiдi. Сонда сағаттың бағасы неше теңге тұрады?

б) Өндiрiстiк ұжым бiр участоктан х кг бидай алып едi. Агротехникалық шаралар жүргiзiлгеннен кейiн келесi жылы бидайдың өнiмi 30%-ке артты. Өндiрiстiк ұжым келесi жылы неше тонна бидай жинады?

в) Жұмысшы берiлген жұмысты 12 сағатта бiтiрдi. Ол бiр сағатта жұмыстың қандай бөлiгiн iстедi? Егер 8 сағатта бiтiрсе ше?

г) Арбаның дөңгелегi х метр жерде 5 рет айналса, дөңгелек шеңберiнiң ұзындығы қандай болады? Егер дөңгелек 18 рет айналса ше? т.с.с.

д) 48-дiң а%-iн табыңдар, х-тiң b%-iн табыңдар. у-тiң 12%-iн табыңдар.

е) Қалада х адам бар. Егер жыл сайын қала халқы оның 10%-iне артып отырса, бiр жылдан кейiн қалада қанша адам болуға тиiс?

Жаттығулардың мазмұны қысқаша тақтаға жазылады.

Бұл сияқты жаттығулар мұғалiмнiң сыныпта көп уақытын алмайды. Сондықтан оны мұғалiм қиналмай-ақ құрастырып, сабақтың ретiне қарай, кез келген жерiнде жүргiзе алады. Мектепте көп жылдар бойы жинақталған тәжiрибемiзге қарағанда, осындай жаттығу жұмыстары көбiрек жүргiзiлгенде оқушылар теңдеу құруға берiлген есептердi шығаруды тез үйренiп, жақсы түсiнедi. Ондай оқушылардың бiлiмi тиянақты да, сапалы болады.

Бұл арада тағы бiр айта кететiн жай, тәжiрибелi мұғалiмдер сабаққа дайындалғанда болсын, жаңа тақырыпты түсiндiргенде болсын, есептер шығарғанда болсын, тек қана қазiргi өтiлiп жатқан тақырып емес, сонымен байланысты болашақ тақырыптарды, тiптi келесi сыныптарда өтiлетiн тақырыптарды да көз алдына елестетiп бiр-бiрiмен ұштастырып, байланыстырып, оқушыларды сол келесi тақырыптарды тез меңгерiп кетуге дайындайды.

Мектептегi жұмыс тәжiрибесiнен және әртүрлi әдiстемелiк құралдардан мына жағдай байқалады. Қазiргi уақытта мұғалiмдер осы кезеңдi (қысқаша айтқанда: белгiсiз шамаларды, белгiлеу кезеңiн) үш түрлi етiп жазып жүр. Әрине, мәселе жазудың қай түрiн пайдалануында емес, мәселе оқушылардың (қай түрде жазса да) түсiнiп, дұрыс, сапалы түрде жазуында болып отыр. Бiз бұл кезеңдi жазудың қай түрiн пайдалануды мұғалiмдердiң өздерiне қалдыра отырып, бiр есептiң шығарылуы арқылы әрқайсысын көрсетiп түсiнiк бермекпiз.

3-есеп. “Бiр топ оқушылар 4 сағаттан кейiн қайтып келмекшi болып қайыққа мiнiп, өзен ағысымен төмен қарай кеттi. Өзен ағысының жылдамдығы сағатына 2 км, ал қайықтың жылдамдығы сағатына 8 км. Егер оқушылар кейiн қайтар алдында жағада 2 сағат болатын болса, олар пристаньнан, ең көп дегенде, қанша жерге жүзiп бара алады?”

Қозғалысқа берiлген есеп. Мұнда қайықтың жүрген жолы, уақыты және жылдамдығы туралы айтылған. Қайықтың жылдамдығы өзеннiң ағысымен (10 км/сағ) және ағысына қарсы (6 км/сағ) жүзгенде өзгерiп отырғандықтан, уақыты да өзгередi, ал жолдың қашықтығы өзгермейдi. Есептiң шарты бойынша қайықтың жүрген жолы мен уақыты белгiсiз, оның жылдамдығы белгiлi.

Осы есептi белгiсiз шамаларды өрнектеп жазудың үш түрiн де қолданып шығарып көрейiк.

Бiрiншi түрi.

1) Қайық өзеннiң ағысымен барлығы х км жүздi.

2) Өзеннiң ағысымен жүзген уақыты сағ.

3) Өзеннiң ағысына қарсы жүзген уақыты сағ.

Оқушылар 2 сағ жағада болып, жолға тек 2 сағ уақыт жiбергенiн ескерiп, мына теңдеу құрылады:

Кейде мұғалiмдер төмендегiше етiп те жазады:

Оқушылар қайықпен барлығы 2 сағ жол жүргендiктен құрылатын теңдеу мынадай болады:

3 Теңдеу құру. Есептiң мазмұнын толық түсiнiп, белгiсiз шаманы таңдап алып, есептегi шамалардың арасындағы байланыстарды анықтап белгiлегеннен кейiн, оқушылар теңдеу құруға кiрiседi. Теңдеу құруға берiлген есептердi шығарудың бұл кезеңiне де оқушыларды әзiрлеу мақсатымен арнайы жаттығулар жүргiзуге болады.

Теңдеулердi құруда мынадай жағдайлар кездеседi.

1Теңдеу құру үшiн екi немесе бiрнеше санның қосындысы пайдаланылады. Бұл сияқты есептердi теңдеу құрып шығарудан бұрын мынадай жаттығуларды орындауға болады:

а) Бiр мектептегi оқушылардың саны х, екiншi мектептегi оқушылардың саны (х+60), ал үшiншi мектептегi оқушылардың саны (х-45) болсын. Сонда теңдеу құруға есептiң қандай шарты жетпейдi? (үш мектептегi барлық оқушылардың саны).

ә) Дүкен бiрiншi күнi х нан, екiншi күнi 2х , үшiншi күнi (2х-40)

нан сатқан. Бұл жерде теңдеу құруға есептiң қандай шарты керек? (үш күнде қанша нан сатылған?)

б) Моторлы қайық өзеннiң ағысымен және өзеннiң ағысына қарсы сағ жүрдi. Осы санды пайдаланып, теңдеу құру үшiн қандай екi шаманы бiлу қажет? (Моторлы қайықтың өзен ағысымен жүзген уақытын және өзеннiң ағысына қарсы жүзген уақытын).