Мектеп математикасындағы мәтіндік есептерді шешудің әдістемесі

в) Үшбұрыштың бұрыштары . Теңдеу құрыңдар т.с.с.

2 Екеуi де бiр шаманы көрсететiн екi өрнектiң арасына теңдiк белгiсiн қою арқылы теңдеу құрылады (мысалы, пароходтың бiр пристаньнан екiншi пристаньға барып керi қайтып келгендегi жолдары т.с.с.).

3 Теңдеу құруға есептiң шартында берiлген екi шаманың айырмалық қатынасы пайдаланылады.

Бұл сияқты есептердi теңдеу құру арқылы шығаруға оқушыларды үйрету үшiн айырмалық салыстырудың мәнiн көрсететiн жаттығулар жүргiзген пайдалы. Мысалы, “m және n сандары берiлген. m саны n санынан 6 бiрлiк артық. Осыны теңдiк белгiсiнiң жәрдемiмен қалай жазуға болады?”

Мұнда айырмалық салыстыру тәсiлiн (m-n=6) де, теңестiру тәсiлiн де (m-6=n; n+6=m) де көрсету керек.

Оқушылардың материалды саналы түрде меңгеруi үшiн бұл сияқты есептердi шығаруда алғашқы кезеңде үш теңдеудiң үшеуiн де құруға үйрету керек. Мысалы:

4-есеп. “Машина жасап шығару жөнiндегi тапсырысты зауыт жоспар бойынша 15 күннiң iшiнде орындауға тиiстi болды. Бiрақ зауыт мерзiмi бiтуге екi күн қалғанда жоспарды орындап, оның үстiне тағы да 6 машина шығарды, өйткенi зауыт күн сайын жоспардан тыс екi машина шығарып отырды. Зауыт жоспар бойынша неше машина шығаруы тиiс едi?”.

Бұл есепте барлық жасалатын машиналар саны (орындалатын жұмыс), оларды орындау мерзiмi және күн сайын жасалатын машиналар саны туралы айтылып тұр.

Машина жасап шығару жөнiндегi тапсырыстың орындалатын мерзiмi есепте белгiлi, жоспар бойынша барлық жасалатын машиналар саны белгiсiз.

1) Зауыт жоспар бойынша барлығы х машина шығаруға тиiстi.

2) Бiр күнде жоспар бойынша машина шығаруға тиiстi.

3) Шын мәнiнде бiр күнде машина шығарды.

Теңдеулердi құрып алғаннан кейiн, мұғалiм сыныптағы қай қатардағы оқушылар қайсы теңдеудi шешуi керек екенiн айтады. Теңдеулердi шешiп болғаннан кейiн, барлығының да жауаптары бiрдей екендiгiне (х=150) оқушылардың көздерi жетедi. Бiрақ, оқушылар теңдеу құруды түсiнгеннен кейiн, сабақта көп уақыт алмау үшiн, сол үш теңдеудiң қайсысы болса да, тек бiреуi құрылады.

4 Теңдеу құру үшiн есептiң шартында көрсетiлген екi шаманың еселiк қатынасы пайдаланылады.

Бұл сияқты есептердi теңдеу құру арқылы шығаруға үйрету үшiн мынадай жаттығу жұмыстарын жүргiзуге болады.

“m саны n санынан 6 есе көп. Осыны теңдiк түрiнде қалай жазуға болады?”.

Мұнда да еселiк салыстыру, яғни қатынас құру тәсiлiн де, теңестiру тәсiлiн де көрсету керек.

Осының алдындағы жағдайдағыдай оқушылар бұл сияқты есептердi шығаруда да үш теңдеу құрады. Мысалы:

5-есеп. “Бiр қапта 60 кг, ал екiншiсiнде 80 кг қант болды. Бiрiншiге қарағанда, екiншi қаптан қантты 3 есе көп алды, сонда бiрiншi қапта екiншiдегiден 2 есе артық қант қалды. Қаптың әрқайсысынан қанша килограмм қант алынды?”.

Есепте әр қапта қанша қант болғаны белгiлi, бiрақ әр қаптан қаншадан алғаны белгiсiз.

Егер бiрiншi қаптан х кг қант алынды десек, онда екiншi қаптан 3х кг алынады. Сонда бiрiншi қапта (60-х) кг, екiншiсiнде (80-3х) кг қант қалады.

5 Теңдеу есеп шартындағы шамалардың арасындағы байланысты өрнектейтiн формуланың жәрдемiмен құрылады.

Бұл сияқты есептер негiзiнен физикалық және геометриялық мазмұны бар есептер болады. Мұндай есептердi шығару үшiн оқушылар физикадан, геометриядан нақтылы материалды (формулаларды, теоремаларды) жақсы бiлуi керек. Әдетте, мұндай есептердiң физика, геометрия, алгебра пәндерiнен өтiлетiн бағдарламалық материалдармен ұштастырылып, байланыстырылып отыратынын ескерiп, бiрнеше мысал қарастыралық.

6-есеп. “Бiр бөлiк темiр мен бiр бөлiк мыстың салмағы бiрге алғанда 373 г, мұнда бiр бөлiк темiрдiң көлемi бiр бөлiк мыстың көлемiнен 5 см³ артық. Темiрдiң меншiктi салмағы 7,8 г/см³, ал мыстың меншiктi салмағы 8,9 г/см³. °р бөлiктiң көлемi қанша екенiн табыңдар”.

Бұл есептiң шарты бойынша теңдеу құру үшiн оқушылар физикадан заттың меншiктi салмағын табатын формуланы естерiне түсiруi керек. Одан p=dV, болатыны белгiлi. Есепте темiр мен мыстың меншiктi салмақтары белгiлi болғандықтан, олардың көлемi x деп белгiленiп, салмақтары белгiсiз х арқылы өрнектеледi.

	Көлемi см3 есебiмен	Салмағы г есебiмен
Бiр бөлiк темiр	Х	7,8х
Бiр бөлiк мыс	х-5	8,9(х-5)

Бiрге алғанда екi бөлiктiң салмағы 373 г болғандықтан, мынадай теңдеу шығады:

7,8х+8,9(х-5)=373.

7-есеп. “Теңiз суында бiр үлкен мұз сеңi қалқып жүр едi, оның су бетiнен шығып тұрған үстiңгi бөлiгiнiң көлемi 2000 м³. Егер теңiз суының меншiктi салмағы 1,03 г/см³, ал мұздың меншiктi салмағы 0,9 г/см³ болса, шамамен алғанда мұз сеңiнiң үлкендiгi қандай?”.

Бұл есепте мұз сеңiнiң көлемi, салмағы, меншiктi салмағы туралы айтылып отыр. Есепте мұз бен теңiз суының меншiктi салмақтары белгiлi болғандықтан, бiз мұз сеңiнiң көлемiн белгiсiз арқылы белгiлеп, салмағын сол белгiсiз арқылы өрнектеймiз. Бұл жерде оқушылар мына нәрсенi ескерулерi керек: Мұз сеңiнiң бiр бөлiгi су бетiнен шығып тұрса, екiншi бөлiгi судың iшiнде көрiнбей тұрады.

Егер барлық мұз сеңiнiң көлемiн х м³ деп алсақ, онда мұз сеңiнiң су iшiндегi (көрiнбей тұрған) бөлiгi (х-2000) м³ болады. Ал осы бөлiктiң суға батқандағы ығыстырып шығарған судың салмағы (х-2000)1,03 т, барлық мұздың салмағы х0,9 т болады.

Архимед заңы бойынша: “Сұйыққа батырған денеге тiк жоғары бағытталған, сол дене ығыстырған сұйықтың салмағына тең керi итерушi күш әсер етедi.” Сондықтан мынадай теңдеу құрамыз:

(х-2000) 1,03=0,9х

8-есеп. “Екi ыдыста температурасы әртүрлi су бар. Егер бiрiншi ыдыстан 240 г, ал екiншi ыдыстан 260 г су алып араластырса, онда қоспаның температурасы 52⁰ болып шығады. Егер де бiрiншi ыдыстан 180 г, ал екiншi ыдыстан 120 г су алып араластырса, онда бұдан шыққан қоспаның температурасы 46⁰ болады. Ыдыстардың әрқайсысындағы судың температурасын табыңдар?”.

Есеп бiрiншi дәрежелi теңдеулер жүйесiн құруға арналған.

Бұл сияқты есептерде кездесетiн шамалар: алынған судың (сұйықтың) массасы (m), оның температурасы (t) және жылу мөлшерi (Q). Олардың арасындағы тәуелдiлiк Q=mt формуласымен өрнектелетiнi және судың меншiктi жылу сиымдылығы 1-ге тең екенi физикадан белгiлi.

х⁰ – бiрiншi ыдыстағы судың температурасы.

у⁰ – екiншi ыдыстағы судың температурасы.

240х кал.– бiрiншi ыдыстан алынған судың жылу мөлшерi.

260у кал. – екiншi ыдыстан алынған судың жылу мөлшерi.

(240+260)52 кал. – қоспаның жылу мөлшерi.

Сонымен бiрiншi теңдеу төмендегiдей болады:
240х+260у=50052.
Ендi жүйенiң екiншi теңдеуiн құрамыз:

180 х кал.– бiрiншi ыдыстан алынған судың жылу мөлшерi.

120 у кал. – екiншi ыдыстан алынған судың жылу мөлшерi.

(180+120)46 кал. – қоспаның жылу мөлшерi.

Екiншi теңдеу:

180х+120у=30046

Тағы бiр есеп қарастырайық.

9-есеп. “Арбаның алдыңғы дөңгелегi бiраз жер жүргенде артқы дөңгелектен 15 рет артық айналады. Алдыңғы дөңгелектiң шеңберi 2,5 м, ал артқы дөңгелектiң шеңберi 4 м. °р дөңгелек неше рет айналды және арба қанша жер жүрдi?”.

Бұл сияқты есептерде кездесетiн шамалар: дөңгелектiң жүрген жолы (S), дөңгелектiң шеңберiнiң ұзындығы (С) және оның айналым (оборот) саны (n). Олардың арасындағы тәуелдiлiк мынадай формуламен өрнектеледi: S=Cn, яғни .

Есепте екi сұрақ болғандықтан екi түрлi белгiлеу жолы болады және соған байланысты екi түрлi теңдеу құрылады.

а) х арқылы айналым санын белгiлесек:

1. 
   Алдыңғы дөңгелектiң айналым саны – х.
   
2. 
   Артқы дөңгелектiң айналым саны – (х-15).
   
3. 
   Алдыңғы дөңгелектiң жүрген жолы – 2,5х км.
   
4. 
   Артқы дөңгелектiң жүрген жолы - 4х км.
   

2,5х=(х-15)4