ОҚУ Әдістемелік кешен атырау 2015 ж. Құрастырушылар: КаракеноваСаяхат
жүктеу/скачать 2,77 Mb.
|
УМК Матанализ
- Бұл бет үшін навигация:
- Монотонды тізбектің шегі. саны.
- Больцано-Вейерштрасс леммасы
- Коши теоремасы
- 4-8 дәрістер.
- Функция және оның шегі.
Анықталмаған өрнектер. Жоғарыда ,  және  өрнектерінің шегін,  шамалары шектелген, анықталған болғанда, -нің бөлімінің шегі жағдайлар қарастырылды. Енді төмендегі төрт жағдайды қарастыралық. Себебі, бұлардың маңызды ерекшеліктері бар. Сонымен, , және  арифметикалық өрнектердің өзгеруін (не шегін) тек қана және шектерін білу арқылы табуға болмайды екен. Олай болса, , ,  және (әрине бұл белгілерде ешқандай мағына жоқ) өрнектердің өзгерісін білу үшін немесе тек бір шегін табу үшін және -нің шектерін білуді пайдаланып, , және өрнектерін түрлендіріп, өзгерісін зерттеп, болса, тек бір шегін табу керек. Бұндай зерттеуді , , және түріндегі анықталмаған өрнектерді ашу деп атайды.
Монотонды тізбектің шегі. саны.  тізбегі немесе айнымалы шамасы берілсін. Бұл тізбектің  (өспелі),  (кемімелі),  (кемімейтін) және  (өспейтін) екендігін анықтамалардан білеміз.  немесе монотонды тізбек делік.
Теорема 1. Егерде монотонды өспелі болып, жоғарыдан шенелген болса, онда оның шектелген шегі болады, ал жоғарыдан шенелмесе, оның шегі -ке тең болады. Егерде монотонды кемімелі болып, төменнен шенелген болса, онда оның шектелген шегі болады, ал төменнен шенелмеген болса, оның шегі -ке тең болады. Теорема 2. (Іштей сызылған сегменттер туралы теорема). Егерде өспелі, кемімелі болып,  үшін  орындалса және  болғанда  болса, онда және шамаларының ортақ шектелген шегі болады да, яғни  .
саны иррационал және трансцендентті сан, яғни бұл сан бүтін коэффициентті барлық теңдеулердің түбірі болмайды. Олай болса, -санын натурал сандарға арифметикалық және түбір табу амалдарын қолданып табуға болмайды. Больцано-Вейерштрасс леммасы (Б.Больцано – чехтардың философ және математик ғалымы (1781-1848), ал К.Вейерштрасс (1815-1897) немістің ұлы математигі). (1) түрдегі кез-келген шенелген тізбектен әр уақытта да шектелген, анықталған шекке ұмтылатын (2) дербес тізбекті бөліп алуға болады. Бұл лемма басқа теоремаларды дәлелдеуге өте жиі қолданылады. Больцано-Вейерштрасс леммасынан кез-келген шенелген немесе шенелмеген тізбектердің дербес шектері болатыны белгілі. Сол дербес шектердің ең үлкені және ең кішісі болатынын дәлелдеуге болады. Теорема. Егерде тізбегі берілсе, онда бұл тізбектің дербес шектерінің ең үлкені және ең кішісі болады. Бұл екі шектің бір-біріне тең болуы тізбегінің тек бір шегінің бар екендігінің қажетті және жеткілікті шарты.
Коши теоремасы (сандар тізбегінің жинақтылық белгісі). тізбегінің немесе шамасының шектелген шегі болу үшін  арқылы бір  нөмірі табылып,  және  сандары үшін  және  болғанда  , (3) орындалуы қажетті және жеткілікті шарт.
4-8 дәрістер. Функция туралы түсінік. Функцияның шегі және оның қасиеті. Нүктеде шегі бар функциялар және олардың қасиеттері. Функция шегінің бар болуының Коши критерийі. Ақырсыз аз және ақырсыз үлкен функциялар. Бірінші және екінші тамаша шектер. Үзіліссіз функциялар: үзіліссіз функциялардың локалді қасиеттері; монотонды функциялар, элементарлы функциялардың үзіліссіздігі. Функция және оның шегі. Функция шегінің анықтамасы: Егерде әрбір алдын-ала берілген  саны арқылы  саны ( байланысты) табылып,  орындалғанда  орындалса, онда санын  функциясының  болғандағы шегі деп атайды да,  деп белгілейді немесе  болғанда  .
  функциясы ұмтылғанда құнарсыз аз (шексіз үлкен) деп аталады, егерде  .
Екі және  функциясы , ұмтылғанда біруақытта 0-ге немесе шексіздікке ұмтылатын болса және  , онда олар эквивалентті функциялар деп аталады. Белгіленуі:  .
Құнарсыз аз (шексіз үлкен) функциялардың қатынасының шегі өзгермейді, егерде олардың әрқайсысын эквивалентті функциямен алмастырсақ, яғни  . (2)
егер Элементар функцияның анықталу облысының нүктесіндегі шегі функцияның осы нүктедегі мәніне тең: Кейбір шектерді есептеу кезінде ;  ;  . (3)
Сол сияқты,  , егер  ;
 , егер ;  ;
 , егер  ;  ;
Егерде ,  функциясы беріліп, болған жағдайда аргументі санына оң жақтан не сол жақтан ұмтылуы мүмкін. оң жақтан ұмтылса, оны  , ал сол жақтан ұмтылса,  деп белгілейміз, немесе  , немесе  , былай жазамыз:  немесе  . Бұндай шектерді біржақты шектер деп атайды. Сонда болуы үшін  болуы қажетті және жеткілікті шарт. Әрине, біржақты шектер болуы мүмкін, бірақ бұлар тең болуы міндетті емес. Мысалы,  .  және  ұмтылған жағдайларды қарастыралық.
 .
 (14. сурет).
 функциясын алсақ:  .  .
Берілген екі функция үшін  болғанда біржақты шектер бар, бірақ олар тең емес. Ал  функциясы үшін  ,  . Бұл жағдайда берілген функцияның болғанда -де шексіз көп шегі бар, бірақ қайсысы екені белгісіз. Сондықтан, бұл жағдайда  функциясының шегі жоқ, немесе анықталмаған.
жүктеу/скачать 2,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
.
.
; 
; ; ; түріндегі анықталмаған өрнектер шығуы мүмкін.Анықталмаған өрнектерді ашудың әдістері: 1) анықталмағандықты тудырып отырған көбейткішті қысқарту; 2) бөлшектің алымы мен бөлімін аргументтің ең үлкен дәрежесіне бөлу (
ұмтылғандағы көпмүшеліктердің қатынасы үшін); 3) эквивалентті құнарсыз аз және шексіз үлкендерді пайдалану; 4) екі тамаша шекті пайдалану:
, егер